吉林省长春市2021届高三理数质量监测一模试卷

试卷更新日期：2020-11-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 3, x \in Z}, B = {x | x^{2} - 2 x > 0},$ 则集合 $A \cap B$ 的元素个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{2})$ 是（）

A、周期为 $2 π$ 的奇函数 B、周期为 $2 π$ 的偶函数 C、周期为 $π$ 的奇函数 D、周期为 $π$ 的偶函数

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3. 在 $△ A B C$ 中， $A > B$ 是 $\sin A > \sin B$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校，这两条公交线路对他是一样的，都可以到达学校，甲路公交车的到站时间是6:09，6:19，6:29，6:39，…，乙路公交车的到站时间是6:00，6:10，6:20，6:30，…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是（）

A、10% B、50% C、60% D、90%

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5. 长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度 $v_{1}$ 的大小 $| v_{1} | = 10 km/h$ ，水流的速度 $v_{2}$ 的大小 $| v_{2} | = 4 km/h$ ，设 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 所成角为 $θ (0 < θ < π)$ ，若游船要从 $A$ 航行到正北方向上位于北岸的码头 $B$ 处，则 $\cos θ$ 等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{21}}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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6. 已知函数 $f (x) = (x - 1) \sin (π x) ，$ 则函数在 $[- 1 ， 3]$ 上的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 将长、宽分别为 $\sqrt{3}$ 和 $1$ 的长方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折起，得到四面体 $A - B C D$ ，则四面体 $A - B C D$ 的外接球体积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $4 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过其焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线分别交于 $A$ 、 $B$ 两点(点 $A$ 在第一象限)，且 $\vec{A B} = 4 \vec{F B} ，$ 则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9. 对于函数 $f (x) = x | x | + x + 1 ，$ 下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在定义域上是单调递减函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 1)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上存在零点

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10. 如图，在面积为1的正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内做四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2} ，$ 使 $\vec{A_{1} A_{2}} = 2 \vec{A_{2} B_{1}} ，$ $\vec{B_{1} B_{2}} = 2 \vec{B_{2} C_{1}} ， \vec{C_{1} C_{2}} = 2 \vec{C_{2} D_{1}} ， \vec{D_{1} D_{2}} = 2 \vec{D_{2} A_{1} ，}$ 以此类推，在四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 内再做四边形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ……，记四边形 $A_{i} B_{i} C_{i} D_{i}$ 的面积为 $a_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n)$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} =$ （）

A、 $\frac{9}{5} [1 - {(\frac{4}{9})}^{n}]$ B、 $\frac{9}{4} [1 - {(\frac{5}{9})}^{n}]$ C、 $\frac{3}{2} [1 - {(\frac{1}{3})}^{n}]$ D、 $3 [1 - {(\frac{2}{3})}^{n}]$

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11. 双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 被斜率为 $4$ 的直线截得的弦 $A B$ 的中点为 $(2, 1),$ 则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x),$ 当 $x \in (0, 1)$ 时 $, f (x) = 3^{x} + 1,$ 则 $f (\log_{\frac{1}{3}} 84)$ 的值为（）

A、 $\frac{165}{81}$ B、 $\frac{84}{81}$ C、 $\frac{165}{84}$ D、 $\frac{81}{84}$

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二、填空题

13. 若tanα=2，则sin2α=

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14. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z} = 3,$ 则 $| z | =$ .

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15. 如图，一块边长 $10cm$ 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积 $V$ (单位： ${cm}^{3}$ )表示为 $x$ (单位： $cm$ )的函数为．

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三、双空题

16. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n$ ，则 $a_{n} =$ ;数列 ${\frac{n + 3}{a_{n} a_{n + 1}} \cdot \frac{1}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ ．

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A$ ⊥底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点．

（Ⅰ）求证：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

（Ⅱ）求二面角 $P - D C - E$ 的余弦值．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a + \frac{1}{2} b = c \cdot \cos B$ ．
（Ⅰ）求角 $C$ ;

（Ⅱ）若 $a = 2, b = 3$ ，求 $\cos (2 A - C)$ ．

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19. 某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应．为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图(如图)，现从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户．

（Ⅰ）若将频率视为概率，求至少有两户购买量在 $[3 ， 4) ($ 单位： $kg$ )的概率；

（Ⅱ）若抽取的5户中购买量在 $[3 ， 6] ($ 单位： $kg$ )的户数为2户，从这5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在 $[3 ， 6] ($ 单位： $kg$ )的户数为ξ，求ξ的分布列和期望．

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20. 已知椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l ： y = k x + 1$ 分别与 $x$ 轴 $y$ 轴交于 $M ， N$ 两点，与椭圆交于 $A ， B$ 两点.

(1)、若 $\vec{A M} = \vec{N B}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $P$ 的坐标为 $(0 ， - 2) ，$ 求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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21. 设函数 $f (x) = e^{\frac{1}{x}} + a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，求证： $f (x) ⩾ a (2 - \ln a) .$

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22. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 t \\ y = t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ + 4 \sin θ .$

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和圆 $C$ 的直角坐标方程;

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $| A B | .$

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23. 已知 $a > 0, b > 0, a + b = 4.$

(1)、求证: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} ⩾ 2 \sqrt{2}$ ;

(2)、求证: $\frac{1}{a + 2} + \frac{2}{b} ⩾ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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