人教新课标A版选修2-3 2.1离散型随机变量及其分布列

试卷更新日期：2020-11-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下，则 $p =$ （）

X

0

1

2

3

P

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

p

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{12}$

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2. 若随机变量 $X$ 的分布列如下：

X

-3

-2

0

1

2

3

P

0.1

0.2

0.2

0.3

0.1

0.1

则当 $P (X < m) = 0.5$ 时， $m$ 的取值范围是（）

A、 $m ⩽ 2$ B、 $0 < m \leq 1$ C、 $0 < m \leq 2$ D、 $1 < m < 2$

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3. 一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A发生的条件下事件B发生的概率是（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{5}{14}$

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4. 若随机变量X的分布列如下表，则 $E (X) =$ （）

X

0

1

2

3

4

5

P

2x

3x

7x

2x

3x

x

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $\frac{20}{9}$

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5. 随机变量X的取值范围为0，1，2，若 $P (X = 0) = \frac{1}{4}, E (X) = 1$ ，则D（X）＝（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 $X$ ，则 $P (X \leq 2 \sqrt{2}) =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{18}$

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7. 随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，则 $E (2 X - 1) =$ （）

X

-2

-1

1

P

$\frac{1}{6}$

a

$\frac{1}{3}$

A、0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、-1 D、-2

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8. 若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 的标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $2 x_{10} - 1$ 的标准差为（）

A、8 B、15 C、16 D、32

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9. 已知随机变量 $ξ$ 和 $η$ ，其中 $η = 12 ξ + 7$ ，且 $E η = 34$ ，若 $ξ$ 的分布列如下表，则m的值为（）

ξ

1

2

3

4

P

$\frac{1}{4}$

m

n

$\frac{1}{12}$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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10. 已知随机变量 $ξ$ 的取值为 $i (i = 0, 1, 2)$ .若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5}$ ， $E (ξ) = 1$ ，则 $D (2 ξ - 3) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

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11. 已知 $c > a$ ，随机变量 $ξ ， η$ 的分布列如下表所示，则（）

A、 $E (ξ) > E (η) ， D (ξ) < D (η)$ B、 $E (ξ) > E (η) ， D (ξ) = D (η)$ C、 $E (ξ) > E (η) ， D (ξ) > D (η)$ D、 $E (ξ) < E (η) ， D (ξ) = D (η)$

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12. 一个长方形塑料箱子中装有20个大小相同的乒乓球，其中标有数字0的有10个，标有数字 $n$ 的有 $n$ 个（ $n = 1, 2, 3, 4$ ）. 现从该长方形塑料箱子中任取一球，其中 $X$ 表示所取球的标号. 若 $η = a X + b (a > 0), E (η) = 1, D (η) = 11$ ，则 $a + b =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多选题

13. 设随机变量 $ξ$ 的分布列为 $P (ξ = \frac{k}{5}) = a k (k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ ，则（）

A、 $15 a = 1$ B、 $P (0.5 < ξ < 0.8) = 0.2$ C、 $P (0.1 < ξ < 0.5) = 0.2$ D、 $P (ξ = 1) = 0.3$

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三、填空题

14. 已知X服从二项分布 $B (100, 0.2)$ ，则 $E (- 3 X - 2) =$ .

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15. 每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次 $(n ⩾ 2, n \in N^{*})$ ，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若 $E (X) > 5$ ，则n的最小值为.

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16. 有一种游戏，其规则为：每局游戏进行两轮积分，玩家先从标有1､2､3､4的4张卡片中随机抽取一张卡片，将卡片上数字的相反数作为得分；再从标有1､2､3､4的4张卡片中随机抽取两张卡片，将两张卡片数字之差的绝对值的1.2倍作为得分.则玩家玩一局游戏的得分期望为.

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17. 设随机变量 $X$ 的分布列如下：

X

0

1

2

P

$2 p + \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} - p$

$\frac{1}{3} - p$

若 $p \geq \frac{1}{5}$ ，则 $E (X)$ 的最大值是， $D (X)$ 的最大值是.

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四、解答题

18. 编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 $ξ$ .

(1)、求随机变量 $ξ$ 的取值和对应的概率，并列出分布列；

(2)、求随机变量 $ξ$ 的数学期望及方差.

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19. 一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，试验不成功的概率都是 $\frac{1}{3}$ 甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.

(1)、求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；

(2)、记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列和期望 $E X$ .

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20. 一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个.第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为X.

(1)、求随机变量X的分布列；

(2)、求随机变量X的数学期望.

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21. 口袋里装有大小相同的小球8个，其中红色球3个，黄色球3个，蓝色球2个。第一次从口袋里任意取球一个，记下颜色后放回口袋，第二次再任意取球一个，记下颜色后放回口袋，规定取到红色球记1分，取到黄色球记2分，取到蓝色球记3分．第一次与第二次取到球的得分之和为ξ。

(1)、当ξ为何值时，其发生的概率最小？请说明理由；

(2)、求随机变量ξ的数学期望E（ξ）。

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22. 某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进M型号童裤）．该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．

前2月内的销售量（单位：件）

30

40

50

频数（单位：年）

6

8

4

(1)、若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望；（结果保留一位小数）

(2)、依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大．

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23. 某环保小组为了检测n（ $n \in N$ 且 $n > 2$ ）条河流是否含有某种细菌，现对这n条河流进行取样检测（每一条河流取一份水样样本）．以往的检测方法是将样本逐份检测，为了提高检测的效率，该环保小组设计了混合检测法，其步骤如下：将其中m（ $m \in N$ 且 $2 \leq m < n$ ）份水样样本分别取样混合在一起检测，若检测结果不含该细菌，则这 $m$ 份水样样本只要检测这一次即可；若检测结果含有该细菌，为了明确这m份水样究竟哪份或哪几份含有该细菌，需要对这 $m$ 份再逐份检测，此时这m份水样样本的检测总次数为 $m + 1$ ．针对这n份水样样本，先采取混合检测，剩余的水样样本再逐份检测．假设在接受检测的水样样本中，每份样本是否含有该细菌相互独立，且每份样本含有该细菌的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、若 $n = 3$ ， $p = \frac{1}{6}$ ，设所有水样样本检测结束时检测总次数为X，求X的分布列；

(2)、假设 $n > 12$ ，在混合检测中，取其中k（ $k \in N$ 且 $2 \leq k < n$ ）份水样样本，记这 $k$ 份样本需要检测的总次数为Y．若Y的数学期望 $E (Y) = k$ ，求p（用k表示），并求当 $k = 6$ 时p的估计值（结果保留三位有效数字）．
参考数据： $\sqrt[6]{6} \approx 1.3480$ ．

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前2月内的销售量（单位：件）	30	40	50
频数（单位：年）	6	8	4

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	p

X	-3	-2	0	1	2	3
P	0.1	0.2	0.2	0.3	0.1	0.1

X	-2	-1	1
P	$\frac{1}{6}$	a	$\frac{1}{3}$

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	m	n	$\frac{1}{12}$

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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