人教新课标A版选修2-3 1.3二项式定理

试卷更新日期：2020-11-09 类型：同步测试

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一、单选题

1. ${(\frac{1}{x} - x)}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（）.

A、-210 B、-120 C、120 D、210

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2. ${(a + 1)}^{5}$ 展开式中的第2项是（）

A、 $5 a^{3}$ B、 $10 a^{3}$ C、 $5 a^{4}$ D、 $10 a^{4}$

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3. 在 ${(\sqrt{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）．

A、-5 B、5 C、-10 D、10

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4. 设 ${(2 - x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} \dots a_{5} x^{5}$ ，那么 $\frac{a_{0} + a_{2} + a_{4}}{a_{1} + a_{3} + a_{5}}$ 的值为（）

A、 $- \frac{244}{241}$ B、 $- \frac{122}{121}$ C、 $- \frac{61}{60}$ D、-1

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5. $(x + \frac{y^{2}}{x}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中x³y³的系数为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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6. 二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $- \frac{3}{16}$

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7. 已知(1＋ax)·(1＋x)⁵的展开式中x²的系数为5，则a＝（）

A、－4 B、－3 C、－2 D、－1

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8. 二项式 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（）

A、-160 B、-80 C、80 D、160

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9. 若 ${(2 x^{2} - \frac{3}{\sqrt{x}})}^{n}$ $(n \in N^{*})$ 的展开式中常数项为第9项，则n的值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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10. 设 ${(\sqrt{2} - x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ，那么 ${(a_{0} + a_{2} + \dots + a_{10})}^{2} - (a_{1} + a_{3} + \dots + a_{9})^{2}$ 的值为（）

A、0 B、-1 C、1 D、 ${(\sqrt{2} - 1)}^{10}$

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11. 在 ${(x + 2)}^{6}$ 展开式中，二项式系数的最大值为m，含 $x^{4}$ 的系数为n，则 $\frac{n}{m} =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12. ${(x^{2} - x - a)}^{5}$ 的展开式的各项系数和为-32，则该展开式中含 $x^{9}$ 项的系数是（）

A、-15 B、-5 C、5 D、15

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二、多选题

13. 关于 ${(a - b)}^{11}$ 的说法，正确的是（）

A、展开式中的二项式系数之和为2048 B、展开式中只有第6项的二项式系数最大 C、展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D、展开式中第6项的系数最小

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14. 若 ${(1 - 2 x)}^{2009} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2009} x^{2009}$ （ $x \in R$ ），则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2009} = \frac{3^{2009} + 1}{2}$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{2008} = \frac{3^{2009} - 1}{2}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{2009}}{2^{2009}} = - 1$

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三、填空题

15. 在 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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16. ${(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为．

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17. 设（1+2x）⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ ，则a₄＝；a₁+a₂+a₃＝．

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18. 已知 ${(1 + x)}^{6} - {(2 + x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots \dots + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{6} =$ ， $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \dots \dots + | a_{5} | + | a_{6} | =$ .

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四、解答题

19. 已知 ${(2 x - 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 的二项展开式中二项式系数之和为256.

(1)、求n的值；

(2)、求该展开式中 $x^{3}$ 项的系数.

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20. 设 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$

(1)、求 $a_{2}$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ 的值.

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21. 二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.

(1)、求所有二项式系数的和；

(2)、求展开式中的有理项.

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22. 已知 ${(\sqrt[3]{x} + x^{2})}^{2 n}$ 的展开式的系数和比 ${(3 x - 1)}^{n}$ 的展开式的二项式系数和大992，求 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{2 n}$ 的展开式中：

(1)、二项式中的常数项；

(2)、系数小于1025的项．

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23. 已知二项式 ${(x + 3 x^{2})}^{n}$ ．

(1)、若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；

(2)、若 $x = 3, n = 2020$ ，求二项式的值被7除的余数．

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24. 对任意 $n \in N^{*}$ ，定义 ${(1 + \sqrt{2})}^{n} = a_{n} + b_{n} \sqrt{2}$ ，其中 $a_{n}$ ， $b_{n}$ 为正整数.

(1)、求 $a_{3} + b_{3}$ ， $a_{4} + b_{4}$ 的值；

(2)、求证： $| a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} | = 1$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 是否存在实数 $λ > 0$ ，使得 $(c_{n} - λ) (c_{n + 1} - λ) < 0$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值，若不存在，请说明理由.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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