2016年高考理数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2016-06-13 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（　　）

A、{1} B、{4} C、{1，3} D、{1，4}

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2. 设变量x ， y满足约束条件 ${\begin{cases} x - y + 2 \geq 0 ， \\ 2 x + 3 y - 6 \geq 0 ， \\ 3 x + 2 y - 9 \leq 0. \end{cases}$ 则目标函数 $z = 2 x + 5 y$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、6 C、10 D、17

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3. 在△ABC中，若 $A B = \sqrt{13}$ ，BC=3， $∠ C = 120^{\circ}$ ，则AC=（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4.
阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 设{a_n}是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q<0”是“对任意的正整数n ， a_2n₋₁+a_2n<0”的（）

A、充要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{4 y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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7. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F ，使得DE=2EF ，则 $\vec{A F \cdot} \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- \frac{5}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{11}{8}$

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8. 已知函数f（x）= ${\begin{cases} x^{2} + (4 a - 3) x + 3 a) ， x < 0 ， \\ \log_{a} (x + 1) + 1 ， x \geq 0 \end{cases}$ （a>0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程│f（x）│=2 $-$ x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

A、（0， $\frac{2}{3}$ ] B、[ $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ] C、[ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ] $\cup$ { $\frac{3}{4}$ } D、[ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ） $\cup$ { $\frac{3}{4}$ }

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知 $a, b \in R$ ，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为.

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10. ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中x²的系数为.(用数字作答)

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11.
已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m³.

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12.
如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E ， BE=2AE=2，BD=ED ，则线段CE的长为.

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13. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（- $\infty$ ，0）上单调递增.若实数a满足f(2^|a-1|)＞f（- $\sqrt{2}$ ），则a的取值范围是.

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14. 设抛物线 ${\begin{cases} x = 2 p t^{2} \\ y = 2 p t \end{cases}$ ，（t为参数，p＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（ $\frac{7}{2}$ p ， 0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则p的值为.

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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知函数f(x)=4tanxsin( $\frac{π}{2} - x$ )cos( $x - \frac{π}{3}$ )- $\sqrt{3}$ .

(1)、求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)、讨论f(x)在区间[ $- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}$ ]上的单调性.

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16. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

(1)、设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(2)、设 $X$ 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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17.
如图，正方形ABCD的中心为O ，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ，点G为AB的中点，AB=BE=2.

(1)、求证：EG∥平面ADF；

(2)、求二面角O-EF-C的正弦值；

(3)、设H为线段AF上的点，且AH= $\frac{2}{3}$ HF ，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

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18. 设函数f(x)=（x-1）³-ax-b，x∈R，其中a ， b∈R。

(1)、求f(x)的单调区间；

(2)、若f(x)存在极点x₀ ，且f(x₁)=f(x₀)，其中x₁≠x₀ ，求证：x₁+2x₀=3；

(3)、设a＞0，函数g(x)=∣f(x)∣，求证：g(x)在区间[0，2]上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$

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19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3}$ 1（a＞ $\sqrt{3}$ ）的右焦点为F，右顶点为A，已知 $\frac{1}{| O F |} + \frac{1}{| O A |} = \frac{3 e}{| F A |}$ ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．

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20. 设函数f（x）=x³﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、若f（x）存在极值点x₀ ，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀ ，求证：x₁+2x₀=0；

(3)、设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$ ．

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