2016年高考理数真题试卷（全国甲卷）

试卷更新日期：2016-06-13 类型：高考真卷

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一、单选题

1. 已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）

A、（﹣3，1） B、（﹣1，3） C、（1，+∞） D、（﹣∞，﹣3）

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2. 已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　）

A、{1} B、{1，2} C、{0，1，2，3} D、{﹣1，0，1，2，3}

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m) ， \vec{b} = (3 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则m=（）

A、－8 B、－6 C、6 D、8

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4. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 的圆心到直线 $a x + y - 1 = 0$ 的距离为1，则a=（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5.
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

A、24 B、18 C、12 D、9

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6.
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、20π B、24π C、28π D、32π

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7. 若将函数y=2sin 2x的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，则评议后图象的对称轴为（）

A、x= $\frac{k π}{2}$ – $\frac{π}{6}$ (k∈Z) B、x= $\frac{k π}{2}$ + $\frac{π}{6}$ (k∈Z) C、x= $\frac{k π}{2}$ – $\frac{π}{12}$ (k∈Z) D、x= $\frac{k π}{2}$ + $\frac{π}{12}$ (k∈Z)

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8.
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）

A、7 B、12 C、17 D、34

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9. 若cos( $\frac{π}{4}$ –α)= $\frac{3}{5}$ ，则sin 2α=（）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、– $\frac{1}{5}$ D、– $\frac{7}{25}$

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10. 从区间 $[0 ， 1]$ 随机抽取2n个数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，…， $y_{n}$ ，构成n个数对 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 $π$ 的近似值为（）

A、 $\frac{4 n}{m}$ B、 $\frac{2 n}{m}$ C、 $\frac{4 m}{n}$ D、 $\frac{2 m}{n}$

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11. 已知F₁ ， F₂是双曲线E $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点，点M在E上，M F₁与 $x$ 轴垂直，sin $∠ M F_{2} F_{1} = \frac{1}{3}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (- x) = 2 - f (x)$ ，若函数 $y = \frac{x + 1}{x}$ 与 $y = f (x)$ 图像的交点为 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ，$ $\cdot \cdot \cdot ，$ $(x_{m} ， y_{m}) ，$
则 $\sum_{i = 1}^{m} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、0 B、m C、2m D、4m

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二、填空题

13. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= $\frac{4}{5}$ ，cosC= $\frac{5}{13}$ ，a=1，则b= ．

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14. α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n ， m⊥α ， n∥β ，那么α⊥β.
②如果m⊥α ， n∥α ，那么m⊥n.
③如果α∥β ， m $\subset$ α ，那么m∥β.
④如果m∥n ， α∥β ，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

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15. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

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16. 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=。

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三、综合题

17. $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{n} = 1 ， S_{7} = 28.$ 记 $b_{n} = [\lg a_{n}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[0.9] =0 ， [\lg 99] =1$ .

(1)、求 $b_{1} ， b_{11} ， b_{101}$ ；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前1 000项和.

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18. 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
$\geq$ 5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
$\geq$ 5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05

(1)、求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)、若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(3)、求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

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19.
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF= $\frac{5}{4}$ ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△ $D^{'} E F$ 的位置， $O D^{'} = \sqrt{10}$ .

(1)、证明： $D^{'} H ⊥$ 平面ABCD；

(2)、求二面角 $B - D^{'} A - C$ 的正弦值.

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{t} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A ， M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)、当t=4， $| A M | = | A N |$ 时，求△AMN的面积；

(2)、当 $2 | A M | = | A N |$ 时，求k的取值范围.

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21.

(1)、讨论函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 2} e^{x}$ 的单调性，并证明当 $x$ >0时， $(x - 2) e^{x} + x + 2 > 0 ；$

(2)、证明：当 $a \in [0 ， 1)$ 时，函数 $g （ x ） = \frac{e^{x} - a x - a}{x^{2}} (x > 0)$ 有最小值.设g（x）的最小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域.

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22.
选修4-1：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ， E，G分别在边DA ， DC上（不与端点重合），且DE=DG ，过D点作DF⊥CE ，垂足为F.

(1)、证明：B，C，E，F四点共圆；

(2)、若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

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23. 选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）²+y²=25.

(1)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)、直线l的参数方程是 ${\begin{cases} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{cases}$ （t为参数），l与C交于A、B两点，∣AB∣= $\sqrt{10}$ ，求l的斜率。

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24. 选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x- $\frac{1}{2}$ ∣+∣x+ $\frac{1}{2}$ ∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.

(1)、求M；

(2)、证明：当a ， b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

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上年度出险次数	0	1	2	3	4	$\geq$ 5
保费	0.85a	a	1.25a	1.5a	1.75a	2a

一年内出险次数	0	1	2	3	4	$\geq$ 5
概率	0.30	0.15	0.20	0.20	0.10	0. 05