2016年高考理数真题试卷（北京卷）

试卷更新日期：2016-06-13 类型：高考真卷

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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）

A、{0，1} B、{0，1，2} C、{﹣1，0，1} D、{﹣1，0，1，2}

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2. 若x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 0 ， \\ x + y \leq 3 ， \\ x \geq 0 ， \end{matrix}$ ，则2x+y的最大值为（）

A、0 B、3 C、4 D、5

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3.
执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ )

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　）

A、 $\frac{1}{x}$ ﹣ $\frac{1}{y}$ ＞0 B、sinx﹣siny＞0 C、（ $\frac{1}{2}$ ）^x﹣（ $\frac{1}{2}$ ）^y＜0 D、lnx+lny＞0

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6.
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 将函数 $y = \sin （ 2 x ﹣ \frac{π}{3} ）$ 图像上的点P（ $\frac{π}{4}$ ，t ）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若 P′位于函数y=sin2x的图像上，则（）

A、t= $\frac{1}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{6}$ B、t= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{6}$ C、t= $\frac{1}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{3}$ D、t= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{3}$

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8. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A、乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B、乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C、乙盒中红球不多于丙盒中红球 D、乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9.
设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=。

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10. 在 ${(1 - 2 x)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为.（用数字作答）

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11. 在极坐标系中，直线 $ρ \cos θ - \sqrt{3} ρ \sin θ - 1 = 0$ 与圆 $ρ = 2 \cos θ$ 交于A，B两点，则 $| AB |$ =.

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12. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和，若 $a_{1} = 6$ ， $a_{3} + a_{5} = 0$ ，则 $S_{6}$ =

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13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=.

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14. 设函数 ${\begin{matrix} x^{3} - 3 x ， x \leq a ， \\ - 2 x ， x > a 。 \end{matrix}$
①若a=0，则f(x)的最大值为；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是。

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三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15. 在 $Δ$ ABC中， $a^{3} + c^{3} = b^{3} + \sqrt{2} a c$

(1)、求 $∠ B$ 的大小

(2)、求 $\sqrt{2}$ $\cos A + \cos C$ 的最大值

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16. A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
A班
6    6.5    7     7.5      8
B班
6    7      8     9      10    11    12
C班
3    4.5     6    7.5      9    10.5   12     13.5

(1)、试估计C班的学生人数；

(2)、从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

(3)、再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 $μ_{1}$ ，表格中数据的平均数记为 $μ_{0}$ ，试判断 $μ_{0}$ 和 $μ_{1}$ 的大小，（结论不要求证明）

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17.
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD $⊥$ 平面ABCD，PA $⊥$ PD ，PA=PD，AB $⊥$ AD，AB=1，AD=2，AC=CD= $\sqrt{5}$ ，

(1)、求证：PD $⊥$ 平面PAB；

(2)、求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)、在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，说明理由。

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18. 设函数f(x)=x $e^{a - x}$ +bx，曲线y=f(x)在点 (2，f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，

(1)、求a，b的值；

(2)、求f(x)的单调区间。

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，A（a，0），B(0，b)，O（0，0），△OAB的面积为1.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl $\cdot$ lBMl为定值。

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20. 设数列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ,… $a_{N}$ (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 $a_{k}$ ＜ $a_{n}$ ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。

(1)、对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；

(2)、证明：若数列A中存在 $a_{n}$ 使得 $a_{n}$ > $a_{1}$ ，则G（A） $\neq$ $\emptyset$ ；

(3)、证明：若数列A满足 $a_{n}$ - $a_{n - 1}$ ≤1（n=2,3, …,N）,则GA．的元素个数不小于 $a_{N}$ - $a_{1}$ 。

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A班	6 6.5 7 7.5 8
B班	6 7 8 9 10 11 12
C班	3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5