2016年高考数学真题试卷（江苏卷）

试卷更新日期：2016-06-13 类型：高考真卷

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一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1. 已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=.

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2. 复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是.

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3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦距是.

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4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是

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5. 函数y= $\sqrt{3 - 2 x - x^{2}}$ 的定义域是.

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6.
如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是.

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7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.

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8. 已知{a_n}是等差数列，S_n是其前n项和.若a₁+a₂²= - 3，S₅=10，则a₉的值是.

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9. 定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.

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10.
如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的右焦点，直线 $y = \frac{b}{2}$ 与椭圆交于B ， C两点，且∠BFC=90° ，则该椭圆的离心率是.

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11. 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1，1)上， $f (x) = {\begin{cases} x + a ， - 1 \leq x ＜ 0 \\ | \frac{2}{5} - x | ， 0 \leq x ＜ 1 \end{cases}$ 其中a∈R若 $f (- \frac{5}{2}) = f (\frac{9}{2})$ ，则f（5a）的值是.

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12. 已知实数x ， y满足 ${\begin{cases} x - 2 y + 4 \geq 0 \\ 2 x + y - 2 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{cases}$ ，则x²+y²的取值范围是.

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13.
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E ， F是AD上的两个三等分点， $\vec{B C} \cdot \vec{C A}$ =4， $\vec{B F} \cdot \vec{C F}$ =﹣1，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C E}$ 的值是.

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14. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是.

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二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 在△ABC中，AC=6， $\cos B = \frac{4}{5}$ ， $C = \frac{π}{4}$

(1)、求AB的长；

(2)、求cos（A﹣ $\frac{π}{6}$ ）的值.

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16.
如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B₁B上，且B₁D⊥A₁F，A₁C₁⊥A₁B₁ ．求证：

(1)、直线DE∥平面A₁C₁F；

(2)、平面B₁DE⊥平面A₁C1F.

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17.
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A₁B₁C₁D₁ ，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁（如图所示），并要求正四棱柱的高O₁O是正四棱锥的高PO₁的4倍．

(1)、若AB=6m，PO₁=2m，则仓库的容积是多少？

(2)、若正四棱柱的侧棱长为6m，则当PO₁为多少时，仓库的容积最大？

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18.
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²+y²﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．

(1)、设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

(2)、设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

(3)、设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得 $\vec{T A} + \vec{T P} = \vec{T Q}$ ，求实数t的取值范围。

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19. 已知函数f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．

(1)、设a=2，b= $\frac{1}{2}$ .
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；

(2)、若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．

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20. 记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁ ， t₂ ， …，t_k}，定义S_T= $a_{t_{1}}$ + $a_{t_{2}}$ +…+ $a_{t_{k}}$ ．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆ ．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；

(3)、设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D ，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D ．

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21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(1)、
A．【选修4—1几何证明选讲】
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC ， D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.

(2)、B.【选修4—2：矩阵与变换】
已知矩阵A= $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & - 2 \end{matrix}]$ 矩阵B的逆矩阵B^﹣¹= $[\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ ，求矩阵AB.

(3)、
【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 ${\begin{cases} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{cases}$ （t为参数），椭圆C的参数方程为 ${\begin{cases} x = \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{cases}$ （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A ， B两点，求线段AB的长.

(4)、D. 设a＞0，|x﹣1|＜ $\frac{a}{3}$ ，|y﹣2|＜ $\frac{a}{3}$ ，求证：|2x+y﹣4|＜a．

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22.
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y²=2px(p＞0).

(1)、若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)、已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）；
②求p的取值范围.

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23.

(1)、求 $7 C_{6}^{3} - 4 C_{7}^{4}$ 的值；

(2)、
设m ， n N^* ， n≥m ，求证：
$(m + 1) C_{m}^{m} + (m + 2) C_{m + 1}^{m} + (m + 3) C_{m + 2}^{m} + \dots + n C_{n - 1}^{m} + (n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 2}^{m + 2}$ .

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2016年高考数学真题试卷（江苏卷）

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）