安徽省芜湖市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $x, y \in R$ , $A = {(x, y) | y = x}$ , $B = {(x, y) | \frac{y}{x} = 1}$ ,则集合 $A$ , $B$ 间的关系为（）

A、 $A$ Ü $B$ B、 $B$ Ü $A$ C、 $A = B$ D、 $A \subseteq B$

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2. 如果角 $α$ 的终边过点 $(2 \sin 30 °, - 2 \cos 30 °)$ ，则 $\sin α$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）

A、13立方米 B、14立方米 C、18立方米 D、26立方米

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4. 在用“二分法”求函数 $f (x)$ 零点近似值时，第一次所取的区间是 $[- 2, 4]$ ，则第三次所取的区间可能是（）

A、 $[1, 4]$ B、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ C、 $[- 1, \frac{1}{2}]$ D、 $[1, 3]$

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5. 如图，若C₁ ， C₂分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则（）

A、0<a<b<1 B、0<b<a<1 C、a>b>1 D、b>a>1

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6. $\sin 160 ° \cos 10 ° + \cos 340 ° \sin 10 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 若函数 $f (x)$ 的定义域是 $[- 1, 1]$ ，则 $f (\sin x)$ 的定义域为（）

A、R B、 $[- 1, 1]$ C、 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ D、 $[- \sin 1, \sin 1]$

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8. 已知 $\tan α = 4$ ，则 $\frac{1 + \cos 2 α + 8 \sin^{2} α}{\sin 2 α}$ 的值为（）

A、18 B、 $\frac{1}{4}$ C、16 D、 $\frac{65}{4}$

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9. 三个数 ${0.7}^{6}, 6^{0.7}, \log_{0.7} 6$ 的大小关系为（）

A、 ${0.7}^{6} < \log_{0.7} 6 < 6^{0.7}$ B、 $\log_{0.7} 6 < {0.7}^{6} < 6^{0.7}$ C、 $\log_{0.7} 6 < 6^{0.7} < {0.7}^{6}$ D、 ${0.7}^{6} < 6^{0.7} < \log_{0.7} 6$

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10. 要得到函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像，只需将函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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11. 已知函数 $y = \sin a x + b (a > 0)$ 的图象如图所示，则函数 $y = \log_{a} (x - b)$ 的图象可能（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知 $ω > 0$ ，在函数 $y = 2 \sin (ω x + θ)$ 与 $y = 2 \cos (ω x + θ)$ 的图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{θ}{2}$ D、1

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二、填空题

13. 函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝ $\sqrt{x}$ ＋1，则当x＜0时，f(x)＝.

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14. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是.

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $A$ ，若其值域也为 $A$ ，则称区间 $A$ 为 $f (x)$ 的保值区间．若 $g (x) = x + m + \ln x$ 的保值区间是 $[e, + \infty)$ ，则 $m$ 的值为．

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16. 设函数 $f (x) = 2018 \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + 2019 \sin x + 2020$ , $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 的最大值为 $M$ ,最小值为 $N$ ,那么 $M + N =$ .

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $0 < ω < 4$ ），且 $f (\frac{π}{6}) - f (\frac{2 π}{3}) = 4$ ，给出下列四个结论：①点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 为函数 $f (x)$ 的图像的一个对称中心；②对任意的 $a \in R$ ，函数 $f (x + a)$ 都不可能是偶函数；③函数 $f (x - \frac{π}{3})$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减；④当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 2]$ ，其中正确结论的序号是.

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三、解答题

18. 计算:
$(\log_{2} 125 + \log_{4} 25 + \log_{8} 5) \times (\log_{5} 2 + \log_{25} 4 + \log_{125} 8)$ .

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19. 北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 $θ$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值.

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20. 已知函数f(x)＝ ${(\frac{1}{3})}^{{^{a x}}^{^{2} － 4 x ＋ 3}}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数f(x)的单调增区间．

(2)、如果函数f(x)有最大值3，求实数 $a$ 的值．

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21. 已知函数f(x)＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sin $(2 x + \frac{π}{4})$ ＋sin²x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)若函数g(x)对任意x∈R，有g(x)＝f $(x + \frac{π}{6})$ ，求函数g(x)在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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22. 已知函数f(x)＝－x²－2x，g(x)＝ ${\begin{matrix} x + \frac{1}{4 x}, x > 0 \\ x + 1, x \leq 0 \end{matrix}$

(1)、求g[f(1)]的值；

(2)、若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

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23. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a > 0)$ 在区间 $[2, 3]$ 上有最大值4和最小值1，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 0$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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