安徽省皖西南联盟2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 6}$ ， $B = {2 ， 5 ， 6 ， 8 ， 10}$ ，则 $(C_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${8 ， 10}$ B、 ${2 ， 5}$ C、 ${6 ， 8 ， 10}$ D、 ${2 ， 5 ， 6}$

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2. $\frac{7}{12} π =$ （）

A、70° B、75° C、80° D、105°

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3. 函数 $f (x) = {(\frac{5}{2})}^{x} - 4$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(0 ， 1)$

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4. 设终边在 $y$ 轴的负半轴上的角的集合为 $M$ 则（）

A、 $M = {α | α = \frac{3 π}{2} + k π, k \in Z}$ B、 $M = {α | α = \frac{3 π}{2} - \frac{k π}{2}, k \in Z}$ C、 $M = {α | α = - \frac{π}{2} + k π, k \in Z}$ D、 $M = {α | α = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z}$

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5. 已知 $a = \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $b = \sqrt[5]{3}$ ， $c = {0.3}^{\sqrt{5}}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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6. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{π - 3 x} \cdot \ln (\sin x - \cos x)}{\sqrt{π + 3 x}}$ 的定义域为（）

A、 $[0, \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}]$

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7. 圆心角为60°，弧长为2的扇形的面积为（）

A、 $\frac{1}{30}$ B、 $\frac{π}{30}$ C、 $\frac{3}{π}$ D、 $\frac{6}{π}$

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8. $\cos 350^{\circ} \sin 70^{\circ} - \sin 170^{\circ} \sin 20^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - \cos x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 将函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ 的图像向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 为奇函数，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{9}$ B、 $\frac{2 π}{9}$ C、 $\frac{π}{18}$ D、 $\frac{π}{24}$

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11. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，BC∥x轴当 $x \in [0 ， \frac{7 π}{12}]$ 时，若不等式 $f (x) - m ⩽ \sin 2 x$ 恒成立，则m的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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12. 设函数 $f (x) = (x + 2) \lg \frac{- x - 1}{x + 3} - \frac{1}{\sqrt{4 - {(x + 2)}^{2}}}$ ，则不等式 $f (2 x - 1) \leq f (- \frac{3}{2})$ 的解集是（）

A、 $(0, \frac{1}{4}] \cup [\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, \frac{1}{4}] \cup [\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{4}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $(- 1, - \frac{3}{4}] \cup [- \frac{1}{4}, 0)$

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二、填空题

13. 已知 $\tan α = - 4$ ，则 $\tan 2 α =$ .

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14. 已知 $\sin α = \frac{5}{13}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $\cos α - 6 \tan α =$ .

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15. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a \ln x + a$ .若 $f (- e) = 4$ ，则 $f (0) + f (1) =$ .

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16. 已知 $\tan α = 3$ ，则 $\cos^{2} α + \sin 2 α =$ .

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三、解答题

17. 设角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边上有一点 $P (\frac{3}{5}, \frac{a}{5})$ ，且 $\tan α = - \frac{4}{3}$ .

(1)、求 $a$ 及 $\sin α, \cos α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (π - α) \cos α + \cos^{2} (π + α)}{1 + \tan (π + α)}$ 的值.

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18. 计算或化简：

(1)、 ${(3 \frac{1}{16})}^{\frac{1}{2}} + {0.1}^{- 2} + {(\frac{27}{64})}^{\frac{1}{3}} - π^{0} - \log_{4} 32$ ；

(2)、 $\log_{3} \sqrt{27} - \log_{3} 2 \cdot \log_{2} 3 - 6^{\log_{6} 3} - \lg \sqrt{2} - \lg \sqrt{5}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (π x + ϕ) (0 < ϕ < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $(0 ， \sqrt{2})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求出 $f (x)$ 的最大值、最小值及对应的 $x$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (0 < ω < 6 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ， $f (x)$ 的图象的一条对称轴是 $x = \frac{π}{3}$ ，一个对称中心是 $(\frac{7 π}{12} ， 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $Δ A B C$ 是锐角三角形， $2 \sin 2 B + 2 \sqrt{3} \cos 2 B = 0$ ，且 $\sin C = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos A$ .

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21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 $2 m g / m^{3}$ ，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为 $1.94 m g / m^{3}$ ．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 $r_{0}$ ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为 $r_{1}$ ，则第 $n$ 次改良后所排放的废气中的污染物数量 $r_{n}$ ，可由函数模型 $r_{n} = r_{0} - (r_{0} - r_{1}) \cdot 5^{0.5 n + p} (p \in R, n \in N *)$ 给出，其中 $n$ 是指改良工艺的次数．

(1)、试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；

(2)、依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 $0.08 m g / m^{3}$ ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：取 $l g 2 = 0.3)$

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (m - 2) x - m$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，且函数 $y = f (x - 2)$ 是偶函数.

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $g (t) - n t \geq 0$ 在 $t \in [- 2, 0)$ 上恒成立，求 $n$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = g (\log_{2} (x^{2} + 4)) + k \cdot \frac{2}{\log_{2} (x^{2} + 4)} - 9$ 恰好有三个零点，求 $k$ 的值及该函数的零点.

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