广西壮族自治区来宾市2019-2020学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $λ > 0$ ，双曲线 $x^{2} - y^{2} = λ$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、与 $λ$ 的值有关

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2. 设命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 \sin x + 1 < 0$ ，则 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 \sin x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 \sin x + 1 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 \sin x + 1 > 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 \sin x + 1 > 0$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $S_{△ A B C} = 2$ ，则角 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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4. “ $a > b$ ”是“ $\lg a \geq \lg b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = - 15 ， a_{2} + a_{5} = - 2$ ，则公差 $d =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{9}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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7. 命题p：在数列 ${a_{n}}$ 中，“ $a_{n} = \frac{3}{2} a_{n - 1}$ ， $n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots$ ”是“ ${a_{n}}$ 是公比为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列”的充分不必要条件；命题q：若 $φ = k π$ ， $k \in Z$ ，则 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω \neq 0)$ 为奇函数，则在四个命题 $(\neg p) \lor (\neg q)$ ， $p \land q$ ， $(\neg p) \land q$ ， $p \lor (\neg q)$ 中，真命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 在平面内，动点 $P$ 到定点 $(1 ， 0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离大1，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $x^{2} = 4 y$ C、 $y^{2} = x$ D、 $x^{2} = y$

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9. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、524 B、526 C、1024 D、1026

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10. 点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 上的一点，则点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离与到 $A (- 3 ， 1)$ 的距离之和的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A A_{1} = A B = A C = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $N$ 是 $B C$ 的中点， $\overset{⇀}{A_{1} P} = λ$ $\overset{⇀}{A_{1} B_{1}}$ ， $\overset{⇀}{C_{1} C} = 3 \overset{⇀}{C_{1} M}$ ，若 $P N ⊥ B M$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )上的一点 $A (x_{0} ， y_{0})$ ，直线 $l ： y = k x$ 与双曲线交于 $B$ ， $C$ 两点( $B$ ， $C$ 都不与 $A$ 重合)，设 $A B$ ， $A C$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ， $k_{1} k_{2} + \frac{1}{16 k_{2} k_{2}}$ 取最小值时，双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} 4 x - y + 3 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 3 \leq 0 ， \\ x - y \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y + 1$ 的最大值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = 4 n^{2} - n$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{x + y}{2 y} + \frac{y}{x + y}$ 的最小值为．

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16. $F_{1}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的右焦点，已知过椭圆长轴上一点 $M$ （不含端点）任意作一条直线 $l$ ，交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B F_{1}$ 的周长的最大值为 $5 b$ ，则该椭圆的离心率为.

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三、解答题

17. 设 $p : x > a, q : x > 3$ .

(1)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ 的根，判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件.

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18.

(1)、求不等式 $x (2 x - 3) - 6 \leq x$ 的解集；

(2)、已知矩形 $A B C D$ 的面积为 $16$ ，求它的周长的最小值．

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $(a^{2} + b^{2} - c^{2}) \tan C = \sqrt{3} a b$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、求函数 $f (A) = 1 - 2 \cos^{2} A + 2 \sin A \cos A$ 的定义域及其最大值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} + a_{5} = 18$ ， $S_{3} + S_{5} = 50$ .数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $b_{1} = a_{1}$ ， $3 b_{2} = a_{1} a_{4}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{2 n - 1}} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，在直三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $B E = B C = 2$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $B E$ ， $A C$ 的中点.

(1)、证明： $M N ∥$ 平面 $C D E$ .

(2)、求直线 $A M$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值.

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22. 已知椭圆 $W ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为 $W$ 的上顶点，点 $Q$ 在 $W$ 上， $\overset{⇀}{P F_{2}} = 7 \overset{⇀}{F_{2} Q}$ ，且 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P Q} = - \frac{16}{7}$ .

(1)、求 $W$ 的方程；

(2)、已知过原点的直线 $l_{1}$ 与椭圆 $W$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，垂直于 $l_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 过 $F_{1}$ 且与椭圆 $W$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 ${| C D |}^{2} = 6 | M N |$ ，求 $S_{△ F_{2} C D}$ .

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