广西梧州市2019-2020学年度高二上学期文数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2020-11-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ D、 $\lg a^{2} < \lg a b$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 3$ ”是“ $a > 5$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充要条件 D、必要不充分条件

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3. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有相同的焦点，则实数 $m$ 为（）

A、1 B、-1 C、±1 D、 $\pm \sqrt{3}$

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4. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} a_{6} = 18$ ， $a_{4} a_{7} = 72$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、4 B、9 C、6 D、12

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5. 已知 $f (x) = e^{x} + 2 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、 $1 + 2 e$ B、 $1 - 2 e$ C、 $\ln 2$ D、 $2 e$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\sin 2 A = \sin 2 C$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - \frac{1}{4}$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n > 1)$ ，则 $a_{2019}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、5 D、 $\frac{5}{4}$

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8. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \cos x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 用篱笆围一个面积为 $100 m^{2}$ 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）

A、30 B、36 C、40 D、50

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10. 已知AB是抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的一条焦点弦， $| A B | = 4$ ，则AB中点C的横坐标是（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x - 1$ ，若对于任意 $x \in [m ， m + 1]$ ，都有 $f (x) < 0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ D、 $(0 ， \sqrt{2})$

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12. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) + f' (x) > 1$ ， $f (0) = 4$ ，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} + 3$ 的解集为（）

A、(0，+∞) B、(－∞，0)∪(3，+ ∞) C、(－∞，0)∪(0，+∞) D、(3，+ ∞)

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二、填空题

13. 曲线 $y = x^{2}$ 在点 $P (1 ， 1)$ 处的切线方程是.

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} 、 a_{10}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 5 x + 2 = 0$ 的两个实根，则 $a_{1} a_{4} a_{6} a_{8} a_{11} =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a ， b ， c$ ，若 $\cos A = \frac{4}{5}$ ，且边 $c = 5$ ， $a = \sqrt{10}$ ，则边 $b =$ .

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $P ， Q$ 为过 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 的交点，且 $△ F_{1} P Q$ 为正三角形，则该椭圆的离心率为.

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三、解答题

17. 已知命题 $p ：$ 实数 $m$ 满足 $m^{2} - 5 a m + 4 a^{2} < 0$ ，其中 $a > 0$ ；命题 $q ：$ 方程 $\frac{x^{2}}{m - 3} + \frac{y^{2}}{m - 5} = 1$ 表示双曲线.

(1)、若 $a = 1$ ， $p$ 和 $q$ 均为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + a x + d$ 的图象经过点 $P (0 ， 2)$ ，且在点 $M (- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为 $6 x - y + 7 = 0$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 对应的边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $\cos 2 A - 3 \cos (B + C) = 1$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 5 \sqrt{3}$ ， $b = 5$ ，求 $a$ 的值.

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20. 已知等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=﹣3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{a_n}的前k项和S_k=﹣35，求k的值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、求证： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若不等式 $f (x) > a x - 1$ 在 $x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 上恒成立，求正实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $P (1 ， t)$ 是抛物线上一点，且 $| P F | = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M (8 ， - 4)$ 的动直线 $l$ 交抛物线于 $A ， B$ 两点，抛物线上是否存在一个定点 $N$ ，使得以弦 $A B$ 为直径的圆恒过点 $N$ ？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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