广西桂林市2019-2020学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各点中，在二元一次不等式 $x - y + 1 < 0$ 所表示的平面区域内的是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(2 ， 0)$

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2. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 6$ ， $a_{2} + a_{3} = 8$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 若 $x > y$ ， $a \in R$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $x + a > y + a$ B、 $a - x > a - y$ C、 $a x > a y$ D、 $\frac{a}{x} > \frac{a}{y}$

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4. 命题p： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$

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5. 命题“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} < 2$ ”的否命题是（）

A、“若 $x^{2} < 2$ ，则 $x = 1$ ” B、“若 $x^{2} \geq 1$ ，则 $x \neq 1$ ” C、“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} > 2$ ” D、“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} \geq 2$ ”

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6. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点P到其焦点的距离为5．则点P的横坐标为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. “x＜﹣1”是“x²﹣1＞0”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $△ A B C$ 的三边长成公比为 $\sqrt{2}$ 的等比数列，则其最大角的余弦值为（）．

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$

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9. 若 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \leq 1 \\ x - y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值是（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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10. 设公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 2 (a_{2} + a_{3})$ ，则 $\frac{S_{7}}{S_{4}}$ 等于（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{14}{5}$ C、7 D、14

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11. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F，不过F的直线与C的交点为A，B，与C的准线的交点为D．若 $| B F | = 2$ ， $Δ B D F$ 与 $Δ A D F$ 的面积之比为 $\frac{4}{5}$ ，则 $| A F | =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 第一象限内的点P在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线 $l_{1}$ ： $y = \frac{b}{a} x$ 上， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线的左、右焦点， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $P F_{2}$ 平行于另一条渐近线 $l_{2}$ ，则双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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二、填空题

13. 若三个正数1，b，16成等比数列，则 $b =$ ．

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14. $Δ A B C$ 中，角A，B的对边分别为a，b，已知 $a = 4$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $A = 45^{\circ}$ ，则 $\sin B$ 等于．

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15. 若不等书 $a \leq \frac{1}{x - 1} + x$ 对 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，则实数a的最大值是．

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16. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于其中一点 $P$ ，与 $y$ 轴交于 $M$ 点，且 $\overset{⇀}{F_{2} P} = 2 \overset{⇀}{P M}$ .直线 $F_{1} P$ 与 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的外角平分线交于 $Q$ 点，则 $Δ M P Q$ 的周长为．

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三、解答题

17. 设命题p： $(m + 3) (m - 2) < 0$ ，命题q：关于x的方程 $4 x^{2} + 4 (m - 2) x + 1 = 0$ 无实根.

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 为假命题， $p \lor q$ 为真命题，求实数m的取值范围．

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18. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 $1200 m^{3}$ ，深3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a \sin C + c \cos A = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{15}$ ， $\sqrt{2} \sin B = \sin C$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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21. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n} = \frac{2}{a_{1} a_{2}} + \frac{2^{2}}{a_{2} a_{3}} + \frac{2^{3}}{a_{3} a_{4}} + \dots + \frac{2^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，对 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n} S_{n} \geq 1 + m a_{n}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦距等于短轴的长，椭圆的右顶点到左焦点 $F_{1}$ 的距离为 $\sqrt{2} + 1$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知直线l： $y = k x + m$ （ $k \neq 0$ ）与椭圆C交于A、B两点，在y轴上是否存在点 $M (0, t)$ ，使得 $| M A | = | M B |$ ，且 $| A B | = 2$ ，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

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