广西崇左市2019-2020学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-11-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若一个数列的前4项分别是 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{11}$ ， $\sqrt{17}$ ， $\sqrt{23}$ ，则该数列的一个通项公式为（）

A、 $\sqrt{n + 4}$ B、 $\sqrt{6 n - 1}$ C、 $\sqrt{3 n + 2}$ D、 $\sqrt{6 n + 1}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $a = \sqrt{6}$ ，则 $b =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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3. 命题“ $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ B、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 \geq 0$

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4. 已知点 $P (- 2, 4)$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(4, 0)$

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = - 1$ ， $a_{3} + a_{7} = 16$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的焦点相同，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、5

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7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} + a_{5} = 3$ ， $a_{5} + a_{8} = 6$ ，则 $a_{11} =$ （）

A、4 B、8 C、16 D、32

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8. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin^{2} B = b \cos A \cos B$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P是该双曲线上的一点，且 $| P F_{1} | = 10$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、2或18 B、2 C、18 D、4

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10. 已知命题 $p$ ：在 $Δ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $\cos A + \cos B > 0$ ，命题 $q$ ：在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} a_{6} = 16$ ，则 $a_{4} = 4$ .下列命题是真命题的是（）

A、 $p \land (\neg q)$ B、 $(\neg p) \lor q$ C、 $(\neg p) \land (\neg q)$ D、 $p \land q$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最小值，且 $- 1 < \frac{a_{11}}{a_{12}} < 0$ ，则使得 $S_{n} > 0$ 成立的 $n$ 的最小值是（）

A、11 B、12 C、21 D、22

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，点 $A$ 是椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $l ： y = 2 x$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.若点 $A$ 到直线 $l$ 的距离是1，且 $| M F | + | N F |$ 不超过6，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ B、 $[\frac{2}{3} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{5}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{5}}{3} ， 1)$

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二、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的焦距是.

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14. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则 $\frac{5}{a} + \frac{1}{5 b}$ 的最小值是.

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15. 直线 $l ： y = k x + 2$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 有公共点，则 $k$ 的取值范围是．

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16. 从某建筑物的正南方向的 $A$ 处测得该建筑物的顶部 $C$ 的仰角是 $45 °$ ，从该建筑物的北偏东 $30 °$ 的 $B$ 处测得该建筑物的顶部 $C$ 的仰角是 $30 °$ ， $A$ ， $B$ 之间的距离是35米，则该建筑物的高为米.

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三、解答题

17. 求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)、焦点坐标为 $F_{1} (- 2, 0)$ 和 $F_{2} (2, 0)$ ，P为椭圆上的一点，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 8$ ；

(2)、离心率是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，长轴长与短轴长之差为2.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} a = \sqrt{3} b \cos C + c \sin B$ ．

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $b = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 已知 $p$ ：函数 $f (x) = | a x - m | (a \neq 0)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增， $q$ ：关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x + m \leq 0$ 的解集非空.

(1)、当 $a = 3$ 时，若 $p$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $p$ 为假命题是 $q$ 为真命题的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n - 1} = a_{n} - 1 (n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $P A = P B = P D$ ， $P E = 2 E C$ ，O为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $B C = 2 A D = 4 \sqrt{3}$ ， $P A = 4$ ，求二面角 $C - B D - E$ 的余弦值.

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22. 如图，已知点F为抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M ， N两点，且当直线l的倾斜角为45°时， $| M N | = 16$ .

(1)、求抛物线C的方程.

(2)、试确定在x轴上是否存在点P ，使得直线PM ， PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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