2016年高考文数真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2016-06-13 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1. 已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　）

A、{1，3} B、{1，2} C、{2，3} D、{1，2，3}

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2. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\frac{1}{2}$ ，甲获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则甲不输的概率为（　　）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3.
将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 $\sqrt{5}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣y²=1 B、x²﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1 C、 $\frac{3 x^{2}}{20} - \frac{3 y^{2}}{5}$ =1 D、 $\frac{3 x^{2}}{5} - \frac{3 y^{2}}{20}$ =1

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5. 设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^|a^﹣^1|）＞f（﹣ $\sqrt{2}$ ），则a的取值范围是（　　）

A、（﹣∞， $\frac{1}{2}$ ） B、（﹣∞， $\frac{1}{2}$ ）∪（ $\frac{3}{2}$ ，+∞） C、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ） D、（ $\frac{3}{2}$ ，+∞）

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7. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 $\vec{A F}$ • $\vec{B C}$ 的值为（　　）

A、﹣ $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{11}{8}$

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8. 已知函数f（x）=sin² $\frac{ω x}{2}$ + $\frac{1}{2}$ sinωx﹣ $\frac{1}{2}$ （ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

A、（0， $\frac{1}{8}$ ] B、（0， $\frac{1}{4}$ ]∪[ $\frac{5}{8}$ ，1） C、（0， $\frac{5}{8}$ ] D、（0， $\frac{1}{8}$ ]∪[ $\frac{1}{4}$ ， $\frac{5}{8}$ ]

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二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分

9. i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为．

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10. 已知函数f（x）=（2x+1）e^x ， f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．

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11.
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为．

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12. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， $\sqrt{5}$ ）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，则圆C的方程为．

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13.
如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E ， BE=2AE=2，BD=ED ，则线段CE的长为.

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14. 已知函数f（x）= $\{\begin{matrix} x^{2} + (4 a - 3) x + 3 a ， x < 0 \\ \log_{a} (x + 1) + 1 ， x ⩾ 0 \end{matrix}$ （a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣ $\frac{x}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．

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三、解答题：本大题共6小题，80分

15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B= $\sqrt{3}$ bsinA．

(1)、求B；

(2)、已知cosA= $\frac{1}{3}$ ，求sinC的值．

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16. 某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
配料原料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

(1)、用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)、问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．

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17.
如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABNCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE= $\sqrt{6}$ ，∠BAD=60°，G为BC的中点．

(1)、求证：FG∥平面BED；

(2)、求证：平面BED⊥平面AED；

(3)、求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

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18. 已知{a_n}是等比数列，前n项和为S_n（n∈N^*），且 $\frac{1}{a_{1}}$ ﹣ $\frac{1}{a_{2}}$ = $\frac{2}{a_{3}}$ ，S₆=63．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、若对任意的n∈N^* ， b_n是log₂a_n和log₂a_n+1的等差中项，求数列{（﹣1）ⁿ b_n²}的前2n项和．

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19. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3}$ 1（a＞ $\sqrt{3}$ ）的右焦点为F，右顶点为A，已知 $\frac{1}{| O F |} + \frac{1}{| O A |} = \frac{3 e}{| F A |}$ ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．

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20. 设函数f（x）=x³﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、若f（x）存在极值点x₀ ，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀ ，求证：x₁+2x₀=0；

(3)、设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$ ．

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配料原料	A	B	C
甲	4	8	3
乙	5	5	10