人教A版（2019）必修一 4.1 指数

试卷更新日期：2020-11-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $x > y$ ，则下列各式中一定成立（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x + \frac{1}{y} > 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{x} > {(\frac{1}{2})}^{y}$ D、 $2^{x} + 2^{- y} > 2$

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2. 对任意的正实数a及 $m, n \in Q$ ，下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{m})}^{n} = a^{m + n}$ B、 ${(a^{m})}^{n} = a^{m^{n}}$ C、 ${(a^{m})}^{n} = a^{m - n}$ D、 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

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3. 化简： $\sqrt{{(3 - π)}^{2}} + π =$ （）

A、3 B、 $3 - 2 π$ C、 $2 π - 3$ D、 $2 π - 3$ 或3

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4. 下列各式：① $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ ；② ${(a^{2} - 2 a - 3)}^{0} = 1$ ；③ $\sqrt[3]{- 3} = \sqrt[6]{{(- 3)}^{2}}$ ．中正确的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. 若 $- 1 < x < 2$ ，则 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} =$ （）

A、－3 B、 $2 x - 1$ C、 $- 2 x + 1$ D、3

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6. 已知 $x - x^{- 1} = 3$ ，则 $x^{2} + x^{- 2}$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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7. 函数 $f (x) = \sqrt{2^{x} - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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8. ${(\sqrt[3]{\sqrt[6]{a^{9}}})}^{4}$ 等于（）

A、 $a^{16}$ B、 $a^{8}$ C、 $a^{4}$ D、 $a^{2}$

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9. 已知 $10^{α} = 3$ ， $10^{β} = 4$ ，则 $10^{2 α + β} =$ （）

A、36 B、12 C、24 D、13

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10. 化简 $\sqrt{{(a - b)}^{2}} + \sqrt[5]{{(b - a)}^{5}}$ 的结果是（）

A、 $0$ B、 $2 (b - a)$ C、 $0$ 或 $2 (b - a)$ D、不确定

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11. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行． $L_{2}$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M₁ ，月球质量为M₂ ，地月距离为R， $L_{2}$ 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
$\frac{M_{1}}{{(R + r)}^{2}} + \frac{M_{2}}{r^{2}} = (R + r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$ .设 $α = \frac{r}{R}$ ，由于 $α$ 的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3 α^{3} + 3 α^{4} + α^{5}}{{(1 + α)}^{2}} \approx 3 α^{3}$ ，则r的近似值为（）

A、 $\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} R$ B、 $\sqrt{\frac{M_{2}}{2 M_{1}}} R$ C、 $\sqrt[3]{\frac{3 M_{2}}{M_{1}}} R$ D、 $\sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$

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二、填空题

12. $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} - \sqrt{6 - 4 \sqrt{2}} + \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} =$ .

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13. 若 $10^{2 x} = 25$ ，则 $10^{- x}$ 等于． .

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14. 若 $\sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1} = 3 a - 1$ ,则 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知 $3^{a} = 4^{b} = \sqrt{12} ，$ 则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ ．

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三、解答题

16. 比较下列各题中两个值的大小：

(1)、 ${0.75}^{- 0.1}, {0.75}^{0.1}$ ；

(2)、 ${1.01}^{2.7}, {1.01}^{3.5}$ .

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17. 化简求值：

(1)、 ${(2 \frac{3}{5})}^{0} + 2^{- 2} \times {(2 \frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}} - {(0.01)}^{0.5}$ ；

(2)、 $\sqrt[3]{a^{5}} \cdot \sqrt[3]{a^{7}} \div a^{6}$ .

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18. 计算求值：

(1)、 ${0.064}^{- \frac{1}{3}} - {(- \frac{7}{8})}^{0} + 16^{\frac{3}{4}} + {0.25}^{\frac{1}{2}}$

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值

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19. 已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}$ ＝3，求 $\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} + 2}{x^{2} + x^{- 2} + 3}$ 的值．

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20. 计算：

(1)、 $\sqrt{6 \frac{1}{4}} - （ π - 1 ）^{0} - （ 3 \frac{3}{8} ）^{\frac{1}{3}} + （ \frac{1}{64} ）^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、 ${(0.09)}^{- \frac{1}{2}} - {(- \frac{1}{7})}^{- 2} + {(2 \frac{7}{9})}^{\frac{1}{2}} - {(\sqrt{2} - 1)}^{0}$

(3)、已知x＞0，化简 $(2 x^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{3}{2}}) (2 x^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{- \frac{1}{2}} (x - x^{\frac{1}{2}})$

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21. 计算：

(1)、 ${(\frac{2}{3})}^{- 2} + {(- \sqrt{3})}^{0} - (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}$ ；

(2)、已知 $2^{x} = 3 ， 8^{\frac{y}{3}} = 9$ ，求 $2^{x - 2 y}$ ．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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