浙江省名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)2020-2021学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 4, 5}$ ， $B = {2, 3, 4}$ ， $C = {x \in R ∣ 0 < x < 2}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、{4} B、 ${2, 3}$ C、 ${- 1, 2, 3, 5}$ D、 ${1, 2, 3, 4}$

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2. 已知复数 $z = 3 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z^{2} =$ （）

A、 $10 - 6 i$ B、 $10 + 6 i$ C、 $8 - 6 i$ D、 $8 + 6 i$

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3. 已知 $x$ 是实数，则“ $x + \frac{4}{x} > 5$ ”是“ $x > 4$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若实数 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{y + 1}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 已知空间中 $m$ ， $n$ 是两条不同直线， $α$ 是平面，则（）

A、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ 时， $a_{n}$ ， $S_{n}$ ， $S_{n} - 1$ 成等比数列，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{20}$ D、 $- \frac{1}{20}$

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7. 函数 $y = \cos x + \frac{| \sin x |}{x^{2}}$ 在区间 $[- 2 π ， 0) \cup (0 ， 2 π]$ 上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知正实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ，则 $\frac{5 - 8 x y}{z}$ 的最小值是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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9. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = - \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，且 $\vec{c^{2}} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c} = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的取值范围是（）

A、 $[1 - 2 \sqrt{2}, 1 + 2 \sqrt{2}]$ B、 $[1 - 2 \sqrt{3}, 1 + 2 \sqrt{3}]$ C、 $[- \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}]$ D、 $[1 - \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}]$

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10. 已知实数 $a \in [2, 3]$ ，不等式 $a \cos^{2} x - (4 a + b) \sin x - 2 (2 a + b + 2) - | \sin x + 2 - a | \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $a^{2} + 2 a + 3 b$ 的最大值是（）

A、-16 B、-13 C、-6 D、2

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二、双空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{b} = (- 9, m)$ ， $\vec{c} = (8, n)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $m =$ ， $n =$ .

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12. 若二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 $n$ 等于，此时其展开式各项系数和为.

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13. 函数 $f (x) = \sin x - 2 \cos x - 1$ 的最小正周期是，最大值是.

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14. 某几何体的三视图（单位： $cm$ ）如图所示，则该几何体的侧视图面积为 ${cm}^{2}$ ，体积为 ${cm}^{3}$ .

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三、填空题

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = \frac{3}{2^{n}}$ ，则 $a_{2020} =$ .

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16. 甲从集合 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ 中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位数 $a$ ，乙从集合 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ 中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位数 $b$ ，则 $a > b$ 的概率为.

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17. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 为直线 $x - \sqrt{2} y + 4 = 0$ 上的动点，则 $\sin ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最大值是.

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四、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} \sin A + \cos A = 2$ ， $a = 4$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、求 $b + c$ 的取值范围.

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19. 如图，在三棱台 $A^{'} B^{'} C^{'} - A B C$ 中，平面 $A^{'} A B B^{'} ⊥$ 平面 $B^{'} B C C^{'}$ ， $A B ⊥ B C$ ，四边形 $A^{'} A B B^{'}$ 是等腰梯形，且 $A B = 2 A^{'} B^{'} = 2 B B^{'} = B C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A^{'} A B B^{'}$ ；

(2)、求直线 $C C^{'}$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = (a_{n} + 2) (2 a_{n} - 3)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} \sqrt{a_{n}}}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{n + 4}}$ .

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21. 已知点 $A (2 ， 0)$ 在椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，点 $F$ 为椭圆 $C_{1}$ 的右焦点， $| A F | = 1$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、设点 $B (\frac{2}{3} ， 0)$ ，点 $P$ 为抛物线 $C_{2} ： y^{2} = x$ 上的动点，若过 $P$ 作抛物线 $C_{2}$ 的切线与椭圆 $C_{1}$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ B M N$ 面积 $S$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2} (a \in R)$ ，若 $f (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $x_{2} < \frac{2}{a}$ ；

(3)、证明： $\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} < \frac{2}{a} - 1$ .

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