浙江省超级全能生2020-2021学年高三上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {0, 1, 4}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, 4, 3}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1, 3, 4}$ D、 ${- 1, 0, 1, 4}$

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2. 已知复数 $Z = \frac{1}{1 + i}$ ，则 $\bar{Z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = m (m > 0)$ 的渐近线方程为（）

A、 $y \pm x = 0$ B、 $y \pm x = \sqrt{m}$ C、 $\sqrt{m} y \pm x = 0$ D、 $\sqrt{m} x \pm y = 0$

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4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）

A、 $8 + 3 π$ B、 $10 + 3 π$ C、 $8 + 5 π$ D、 $10 + 5 π$

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5. 当 $x > 0$ 时，“函数 $y = {(3 a - 1)}^{- x}$ 的值恒小于1”的一个充分不必要条件是（）

A、 $a < \frac{1}{3}$ B、 $a > \frac{2}{3}$ C、 $a < \frac{2}{3}$ D、 $a > 1$

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6. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条作 ${\begin{array}{l} | x | - y \leq 1 \\ | x | + 2 y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = x^{2} + y^{2}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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7. 已知边长为1的正三角形 $A B C$ ，动点 $P$ 与点 $A$ 在直线 $B C$ 异侧，且 $S_{△ P B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，（ $0 < b < 4$ ）的右顶点为 $A$ ，已知 $B (1, 0)$ ，若椭圆上存在点 $P$ ，满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则椭圆离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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9. 数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = a$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、不存在实数 $a$ ，使得数列 ${a_{n}}$ 为常数列 B、有且只有一个实数 $a$ ，使得数列 ${a_{n}}$ 为常数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 为递增数列，则实数 $a > 0$ D、若实数 $a > 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为递增数列

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10. 如图，已知三棱锥 $A - B C D$ ， $A B = A C = A D = \sqrt{3}$ ，底而是边长为1的正三角形， $P$ ， $E$ 分别为线段 $A C$ ， $C D$ （不含端点）上的两个动点，则 $P E$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值不可能是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{66}}{41}$ B、 $\frac{2 \sqrt{66}}{33}$ C、 $\frac{21}{22}$ D、 $\frac{3 \sqrt{11}}{11}$

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二、双空题

11. 已知角 $α$ 终边上一点 $P (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ ，则 $\sin α =$ ； $\cos 2 α =$ .

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12. 在 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数和为64，则 $n =$ ；中间项的系数为.

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13. 在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？因为甲输掉后两局的可能性只有 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为 $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ，即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足 $P (ξ = i) = a \cdot \frac{i}{10} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $a =$ ；若 $E (b ξ + 1) = \frac{32}{5}$ ，则 $b =$ .

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14. 已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，动点 $P$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 上，若直线 $l // A B$ 且与圆 $C$ 相切，则直线 $l$ 的方程为；当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 取得最大值时，直线 $P C$ 方程为.

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三、填空题

15. 某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班，要求每班至少含一名民警和一名医务人员，且至少有一名女性，每人值一班.现有民警4人（4男），医务人员6人（5女1男），其中民警甲不排上午，男医生不排上午、下午，则不同的安排方法有种.

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16. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若存在实数 $t$ ，使得 $| t \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} | = \frac{1}{2}$ 成立，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的最小值为.

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17. 已知正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $6 c - 12 a \leq b \leq 5 c - a$ ， $c \ln b - a \geq c \ln c$ ，若 $b = λ a$ ，则 $λ$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 \cos 2 C = 2 \sin (A + B) - 1$ .

(1)、求 $\cos C$ ；

(2)、若边 $A B$ 上的中线 $C D = 1$ ， $a + b = \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知首项为1公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2}$ 为 $a_{1}$ ， $a_{4}$ 的等比中项，数列 ${b_{n} + 1}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \log_{4} (S_{n} + 1)$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{b_{n} + {(- 1)}^{a_{n}}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{2 n} < \frac{6}{5}$ .

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20. 如图，底面 $A B C D$ 为菱形， $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P // D E$ ， $∠ B A D = \frac{2}{3} π$ ， $P A = A D = 2 D E$ .

（Ⅰ）求证： $B D //$ 平面 $P E C$ ；

（Ⅱ）求直线 $D P$ 与平面 $P E C$ 所成角的正弦值.

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21. 如图，已知抛物线 $Γ ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，斜率分别为 $k_{1} (k_{1} \geq 1)$ ， $k_{2}$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 过焦点 $F$ 且交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点和 $C$ ， $D$ 两点.

（Ⅰ）若弦 $A B$ 上一点 $G (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在准线上的投影为 $E$ ， $| F A |$ ， $| G E |$ ， $| F B |$ 成等差数列，求抛物线 $Γ$ 的方程；

（Ⅱ）若 $p = 2$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的倾斜角互补，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + \ln x$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $g (x) = f (x) - x^{2} + 2$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为函数 $y = g (x)$ 的两个不同零点，求证： $\ln x_{1} + 2 > \ln \frac{1}{x_{2}}$ .

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