浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期数学返校联考试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 3}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$

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2. 已知 $a \in R$ ，若 $z = (a^{2} - 1) - (a - 1) i$ （ $i$ 为虚数单位）为纯虚数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、-1 D、±1

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3. 已知等比数列 ${a_{n} + 1}$ ， $a_{1} = 0$ ， $a_{5} = 3$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、-3 B、-2 C、-1 D、1

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4. 若双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线为 $y = \sqrt{3} x$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 已知空间中的三条不同直线 $l$ ， $m$ ， $n$ .则“ $l$ ， $m$ ， $n$ 两两垂直”是“ $l$ ， $m$ ， $n$ 不共面”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 1$ ，则（）

A、 $a^{b} \geq b^{a}$ B、 $a^{b} \leq b^{a}$ C、 $a^{a} + b^{b} > \frac{1}{2}$ D、 $a^{a} + b^{b} < 1$

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7. 已知 $A (- 1, 3)$ ， $B (2, - 1)$ 两点到直线 $l$ 的距离分别是2和3，则满足条件的直线 $l$ 共有（）条.

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知 ${(2 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，则下列命题正确的是（）

A、当 $n = 3$ 时，不存在 $1 \leq k \leq 2$ ，使得 $a_{k - 1} + a_{k} \leq a_{k + 1}$ B、当 $n = 3$ 时，对任意 $1 \leq k \leq 2$ ，都有 $a_{k - 1} + a_{k} \leq a_{k + 1}$ C、当 $n = 4$ 时，必存在 $1 \leq k \leq 3$ ，使得 $a_{k - 1} + a_{k} > a_{k + 1}$ D、当 $n = 4$ 时，对任意 $1 \leq k \leq 3$ ，都有 $a_{k - 1} + a_{k} > a_{k + 1}$

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9. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（）
（1） $a + c > b + d$ ，（2） $a c > b d$ ，（3） $3 a > 2 b$ ，（4） $9 a^{2} + c^{2} > 4 b^{2}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 设集合 $S$ ， $T$ 中至少有两个元素，且 $S$ ， $T$ 满足：①对任意 $x, y \in S$ ，若 $x \neq y$ ，则 $x + y \in T$ ②对任意 $x, y \in T$ ，若 $x \neq y$ ，则 $x - y \in S$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $S$ 有2个元素，则 $S \cup T$ 有4个元素 B、若 $S$ 有2个元素，则 $S \cup T$ 有3个元素 C、存在3个元素的集合 $S$ ，满足 $S \cup T$ 有5个元素 D、存在3个元素的集合 $S$ ，满足 $S \cup T$ 有4个元素

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二、双空题

11. 已知 $\log_{a} b = \lg 100$ ，若 $b = 10$ ，则 $a =$ ，若 $b = a + 2$ ，则 $a =$ .

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12. 已知 $\sin^{2} θ = \cos θ - 1$ ，则 $\sin θ =$ ， $\sin \frac{θ}{2} =$ .

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13. 已知某几何体的三视图如图所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为，最长棱长为.

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 3 y - 1 \leq 0 \\ x - y - 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 y - x$ 的最大值是， $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是.

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三、填空题

15. 已知点 $A (\sqrt{3}, 1)$ ，直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $△ A M N$ 的垂心恰为原点 $O$ ，则直线 $l$ 的方程是.

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16. 盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中黄球在第 $ξ$ 次被首次取到（ $ξ = 0$ 表示黄球未被取到），则 $E (ξ) =$ .

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17. 已知边长为2的等边 $△ A B C$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别为边 $A B$ 、 $A C$ 所在直线上的点，且满足 $M N = 1$ ，则 $\vec{B N} \cdot \vec{C M}$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .已知 $a \cos B = \sqrt{3}$ ， $b \sin A = 3$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $\sin^{2} A + \cos^{2} C$ 的取值范围.

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19. 如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中，平面 $A C F D ⊥$ 平面 $D B C$ ， $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ A C D = 45 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ $A D$ .

(1)、证明： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A D = \sqrt{2} B C$ ，求直线 $D E$ 与平面 $D B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1$ ， $c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $c_{n + 2} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} \cdot c_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 为等比数列，求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${c_{n}}$ 为等差数列，公差 $d > 0$ ，证明： $\frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n}} < \frac{1}{a_{3} - 3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} - n}$ ， $n \in N^{*}$ ， $n \geq 3$ .

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21. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，且满足 $a b = 4$ ，抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ .

(1)、若点 $A (2 ， 1)$ ，求椭圆 $C_{1}$ 及抛物线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、若椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $A$ 的纵坐标记为 $t$ ，若存在直线 $l$ ，使 $A$ 为线段 $B M$ 的中点，求 $t$ 的最大值.

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22. 若函数 $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (1 - a) x - x \ln x + b$ ， $(a ， b \in R)$ 既有极大值点 $x_{1}$ ，又有极小值点 $x_{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $F (x_{1}) + F (x_{2}) < - \frac{1}{4} {(a - 1)}^{2} + 2 b + 1$ .

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