安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期理数第一次素质测试试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，集合 $B = {x | \log_{2} (x - 1) \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）.

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 2}$

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2. 设 $z = \frac{{(1 + i)}^{2}}{1 - i}$ ，复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）.

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} | = | 3 \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 是 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的（）.

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.

河流水位表（1）

第 $x$ 日	第1日	第2日	第3日	第4日	第5日	第6日	第7日
水位 $y$ （米）	3.5	3.7	3.8	3.9	4.3	4.4	4.8

而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.

水位预警分级表（2）

水位	$\geq 4.7$	$\geq 5.1$	$\geq 5.6$
水位分类	设防水位	警戒水位	保证水位
预警颜色	黄色	橙色	红色

现已根据上表得到水位 $y$ 的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.21 x + 3.217$ ，据上表估计（）.

A、第8日将要启动洪水橙色预警 B、第10日将要启动洪水红色预警 C、第11日将要启动洪水红色预警 D、第12日将要启动洪水红色预警

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5. 已知 $x ， y \in R$ ，且满足 ${\begin{array}{l} y - a x \geq 0 \\ y - 2 a x \leq 0 (a > 0) \\ x \leq 2 \end{array}$ ，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数 $z = x + a y$ 的最大值为（）.

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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6. 已知直线 $l ： y = k x - 2 x$ 与曲线 $y = \frac{\sin x}{e^{x}} - 1$ 在 $x = 0$ 处的切线平行，则实数 $k$ 值为（）.

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，圆 $O ： x^{2} + y^{2} - a^{2} - b^{2} = 0$ 与双曲线的一个交点为 $P$ ，若 $| P F_{1} | = \sqrt{2} | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为（）.

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{6} + 1}{2}$

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8. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n}^{2} - a_{n + 1} = 4 (a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，则 $S_{20} =$ （）.

A、0 B、4 C、74 D、80

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9. 已知 $a = \log_{2} 3$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）.

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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10. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 $p$ ，使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p ， p + 2)$ 称为孪生素数.在不超过32的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（）.

A、 $\frac{1}{22}$ B、 $\frac{1}{11}$ C、 $\frac{3}{22}$ D、 $\frac{2}{11}$

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $∠ A B C = 90 °$ ， $P$ 为侧棱 $C C_{1}$ 上任意一点， $Q$ 为棱 $A B$ 上任意一点， $P Q$ 与 $A B$ 所成角为 $α$ ， $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，则 $α$ 与 $β$ 的大小关系为（）.

A、 $α = β$ B、 $α < β$ C、 $α > β$ D、不能确定

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12. 已知函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上可导且 $f (0) = 2$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $\frac{f^{'} (x) - f (x)}{x - 2} > 0$ ，对于函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，下列结论错误的是（）.

A、函数 $g (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上为单调递增函数 B、 $x = 2$ 是函数 $g (x)$ 的极小值点 C、 $x \leq 0$ 时，不等式 $f (x) \leq 2 e^{x}$ 恒成立 D、函数 $g (x)$ 至多有两个零点

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二、填空题

13. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 3 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 a x - 4 y = 0$ ，若圆 $C_{1}$ 关于一条直线 $l$ 对称的圆是圆 $C_{2}$ ，则 $a =$ .

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14. 已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个球的球面上， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 2$ ，当四面体 $A B C D$ 的体积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 时，这个球的表面积为.

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15. 在 $(x + 1) {(\frac{1}{x^{2020}} + \sqrt[3]{x} + 1)}^{9}$ 展开式中， $x^{3}$ 的系数为.（用数字作答）

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (1 ， 0)$ ， $B (1 ， \sqrt{3})$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，且 $| x | + | y | = 1$ ，则动点 $P$ 形成的轨迹长度为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{1} - 2} + \frac{2}{a_{2} - 2} + \frac{3}{a_{3} - 2} + \dots + \frac{n}{a_{n} - 2} = n$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} - 2) (a_{n + 1} - 2)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 1$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ， $x \in (0 ， π)$ ， $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{5} a^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (C) = 1$ ，求 $\frac{b}{c}$ 的值.

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19. 在平面 $α$ 内的四边形 $A B C D$ （如图1）， $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 均为等腰三角形，其中 $A C = 2$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $A D = C D = \sqrt{6}$ ，现将 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 均沿 $A C$ 边向上折起（如图2），使得 $B$ ， $D$ 两点到平面 $α$ 的距离分别为1和2.

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、求二面角 $A - B D - C$ 余弦值.

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20. 随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

潜伏期

（单位：天）

$[0 ， 2]$

$(2 ， 4]$

$(4 ， 6]$

$(6 ， 8]$

$(8 ， 10]$

$(10 ， 12]$

$(12 ， 14)$

人数

200

320

250

100

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、求这1000名患者的潜伏期的样本平均数

\bar{x}

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100人，得到如下列联表：

	潜伏期 $\leq 6$ 天	潜伏期 $> 6$ 天	总计
60岁以上（含60岁）			50
60岁以下	35
			100

请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为传染病潜伏期与患者年龄有关；

(3)、在条件（2）得到的100人样本中，从潜伏期超过10天的人中，随机选取3人进行抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过12天的概率？

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，长轴长为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的任意一点，若点 $P$ 到点 $(2 ， 0)$ 的距离与点 $P$ 到定直线 $x = t (t > 0)$ 的距离之比为定值 $λ$ ，求 $λ$ 与 $t$ 的值；

(3)、若直线 $l ： y = k x + m (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，且线段 $M N$ 的垂直平分线过定点 $(1 ， 0)$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a x + 1)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $P$ 为直线 $y = x + 3$ 与函数 $f (x)$ 图像的一个公共点，其横坐标为 $t$ ，且 $t \in (m ， m + 1)$ ，求整数 $m$ 的所有可能的值.

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