安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期理数期初调研性检测试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z i - 1 = \sqrt{2} i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则复数 $z$ 的模为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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2. 若集合 $A = {x ∣ x > 1}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 3]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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3. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 1 \\ x + y \geq - 1 \\ 3 x - y \geq 3 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + 3 y$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、-4 C、-3 D、1

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4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的 $A$ 、 $B$ 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的 $A$ 、 $B$ 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是（）

A、估计 $A$ 型号口罩的合格率小于 $B$ 型号口罩的合格率 B、Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数 C、Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数 D、Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差

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5. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - \frac{1}{2}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、81 B、121 C、243 D、364

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6. 函数 $f (x) = \frac{x \cos x}{e^{x} + e^{- x}}$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $[2 k π - \frac{π}{8} ， 2 k π + \frac{3 π}{8}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{π}{8} ， k π + \frac{3 π}{8}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π + \frac{3 π}{8} ， 2 k π + \frac{7 π}{8}] (k \in Z)$ D、 $[k π + \frac{3 π}{8} ， k π + \frac{7 π}{8}] (k \in Z)$

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9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、32 B、16 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 的中点， $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 交于点 $G$ ，则：① $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{C A} - \frac{1}{2} \vec{B C}$ ；② $\vec{B E} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ ；③ $\vec{A D} + \vec{B E} = \vec{F C}$ ；④ $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ．上述结论中，正确的是（）

A、①② B、②③ C、②③④ D、①③④

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11. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 为 $C$ 的渐近线上一点，直线 $F_{2} M$ 交 $C$ 于点 $N$ ，且 $\vec{F_{2} M} \cdot \vec{O M} = 0$ ， $\vec{F_{2} M} = \frac{3}{2} \vec{F_{2} N}$ （ $O$ 为坐标原点），则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + x + 1 (a < 0)$ 恰有两个零点，则 $a + b$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{4})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{4})$

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二、填空题

13. 若命题 $p :$ 若直线 $l$ 与平面 $α$ 内的所有直线都不平行，则直线 $l$ 与平面 $α$ 不平行；则命题 $\neg p$ 是命题（填“真”或“假”）．

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14. 若直线 $l$ 经过抛物线 $x^{2} = - 4 y$ 的焦点且与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则直线 $l$ 的方程为．

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15. 已知函数 $f (x) = x - \cos x (x \in R)$ ， $α$ ， $β$ 是钝角三角形的两个锐角，则 $f (\cos α)$ $f (\sin β)$ （填写：“ $>$ ”或“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的顶点 $P$ 在底面的射影 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，若 $S_{△ A B C} \cdot S_{△ O B C} = S_{△ P B C}^{2}$ ，且三棱锥 $P - A B C$ 的外接球半径为3，则 $S_{△ P A B} + S_{△ P B C} + S_{△ P A C}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 3$ ， $a_{2} = - 1$ ．若数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n - 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对 $\forall n \in N^{*}$ 都有 $T_{n} > m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 为检査学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级1500名同学进行了传染病防控知识检测，并从中随机抽取了300份答卷，按得分区间 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ，…， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分别统计，绘制成频率分布直方图如下．

(1)、估计高一年级传染病防控知识测试得分的中位数（结果精确到个位）；

(2)、根据频率分布直方图，按各分数段的人数的比例，从得分在区间 $[80 ， 90)$ 和 $[90 ， 100]$ 的学生中任选7人，并从这7人中随机选3人作传染病预防知识宣传演讲，求这3人中至少有一人得分在区间 $[90 ， 100]$ 内的概率．

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19. 已知：在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 3$ ， $\sin A + a \sin B = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、当 $a = \sqrt{7}$ 时，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $△ A B C$ 为锐角三角形时，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围．

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20. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $D$ 为 $P C$ 的中点，且 $P A = 2 \sqrt{2} A B$ ， $A B = B C$ ，求二面角 $A - B D - C$ 的余弦值．

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21. 在平面直角坐标系中，动点 $E (x, y)$ 满足方程 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} = 4$ ．

(1)、说明动点 $E$ 的轨迹是什么曲线，并求出曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，是否存在过点 $(0, - 1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且直线 $P A$ 、 $P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $M$ 、 $N$ 两点，使得 $| P M | = | P N |$ ？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2} + x (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极值且极值大于 $0$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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