安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期理数第一次质量监测试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 \leq x - 1 \leq 1}$ ， $B = {x | \sqrt{x - 1} > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）.

A、 $\emptyset$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $(0, 2)$

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2. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $| z^{2} - 1 | =$ （）.

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{7}$ D、7

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3. 若单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{c}) \cdot \vec{b} = 1$ ，且向量 $\vec{b}, \vec{c}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $| \vec{c} | =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 函数 $f (x) = | x | - \frac{\lg | 2 x |}{x^{2}}$ 的图象大致为（）.

A、 B、 C、 D、

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} < 0$ ，且 $S_{n} \geq S_{5}$ ，则下列结论一定正确的是（）.

A、 $a_{5} \cdot a_{6} \geq 0$ B、 $a_{5} \cdot a_{6} \leq 0$ C、 $a_{4} \cdot a_{6} > 0$ D、 $a_{4} \cdot a_{6} < 0$

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6. 平面 $α$ 的一条斜线 $A P$ 交平面 $α$ 于 $P$ 点，过定点 $A$ 的直线 $l$ 与 $A P$ 垂直，且交平面 $α$ 于 $M$ 点，则 $M$ 点的轨迹是（）.

A、一条直线 B、一个圆 C、两条平行直线 D、两个同心圆

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7. 防洪期间，要从6位志愿者中挑选5位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天1个人，第四天2个人，则满足要求的排法种数为（）.

A、90 B、180 C、360 D、720

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8. $(x + 1) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中常数项为（）

A、-40 B、40 C、-80 D、80

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9. 干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元2041年，即输入

N = 2041

，执行该程序框图，运行相应的程序，输出

x = 58

，从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元

1208

年，则该年所对应的干支为（）

六十干支表（部分）

5	6	7	8	9
戊辰	己巳	庚午	辛未	壬申
56	57	58	59	60
己未	庚申	辛酉	壬戌	癸亥

A、戊辰 B、辛未 C、已巳 D、庚申

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10. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， 0 < x < 1 \\ \sqrt{e} \cdot \ln x ， x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (e^{a})$ ，则 $f (\frac{1}{a}) =$ （）.

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{e}$ D、 $e$

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11. 将函数 $y = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 图象上的点 $G (\frac{π}{4} ， n)$ 向右平移 $m$ （ $m > 0$ ）个单位长度得到点 $G^{'}$ ，若 $G^{'}$ 位于函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上，则（）.

A、 $n = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $m$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ B、 $n = \frac{1}{2}$ ， $m$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ C、 $n = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $m$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$ D、 $n = \frac{1}{2}$ ， $m$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$

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12. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）上存在点 $M$ ，过点 $M$ 向圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 做两条切线 $M A$ ， $M B$ .若 $M A ⊥ M B$ ，则双曲线 $C$ 的离心率最小值为（）.

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y + 3 \geq 0 \\ 2 x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值为.

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14. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $N$ 项和 $S_{n} = 3^{n} - 1$ ，若 $a_{k} = 9 a_{5}$ ，则 $k =$ .

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15. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点为 $F (1, 0)$ ， $A$ ， $B$ 为椭圆 $C$ 的左右顶点，且 $| A F | = 3 | F B |$ ，则椭圆 $C$ 的方程为.

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16. 如图， $E$ ， $F$ 分别是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $A D$ 的中点，把 $△ A E F$ ， $△ C B E$ ， $△ C F D$ 折起构成一个三棱锥 $P - C E F$ （ $A$ ， $B$ ， $D$ 重合于 $P$ 点），则三棱锥 $P - C E F$ 的外接球与内切球的半径之比是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .且 $(b + a) (\sin B - \sin A) = (c - a) \sin C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 中国网络教育快速发展以来，中学生的学习方式发生了巨大转变.近年来，网络在线学习已成为重要的学习方式之一.为了解某学校上个月

K

，

L

两种网络学习方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人进行调查，发现

K

，

L

两种学习方式都不使用的有15人，仅使用

K

和仅使用

L

的学生的学习时间分布情况如下：

使用时间（小时）

人数

学习方式

$(0, 10]$

$(10, 20]$

大于20

仅使用 $K$

15人

12人

3人

仅使用 $L$

21人

13人

1人

(1)、用这100人使用

K

，

L

两种学习方式的频率来代替概率，从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月

K

，

L

两种学习方式都使用的概率；

(2)、以频率代替概率从全校仅使用

K

和仅使用

L

的学生中各随机抽取2人，以

X

表示这4人当中上个月学习时间大于10小时的人数，求

X

的分布列和数学期望.

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19. 如图，在棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D = 2$ ， $A B = A A_{1} = 4$ ， $F$ 是 $A D$ 的中点，且 $C_{1}$ 在底面上的投影 $E$ 恰为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $C_{1} E F$ ；

(2)、若点 $M$ 满足 $\vec{C_{1} M} = λ \vec{C_{1} D_{1}}$ ，试求 $λ$ 的值，使二面角 $M - E F - C$ 为 $135 °$ .

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线 $C$ 于 $P ， Q$ 两点， $| P Q | = 4$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程，并求其焦点 $F$ 的坐标和准线 $l$ 的方程；

(2)、过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，直线 $O A$ 与准线 $l$ 交于点 $M$ .连接 $M F$ ，过点 $F$ 作 $M F$ 的垂线与准线 $l$ 交于点 $N$ .求证： $O ， B ， N$ 三点共线.

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21. 已知函数 $f (x) = x (a x - \tan x)$ ， $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x = 0$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在极坐标系中，已知 $A (ρ_{1}, \frac{5π}{6})$ 在直线 $l$ ： $ρ \cdot \sin θ = 2$ 上，点 $B (ρ_{2}, \frac{π}{3})$ 在圆 $C$ ： $ρ = 4 \cos θ$ 上（其中 $ρ \geq 0$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ）.

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、求出直线 $l$ 与圆 $C$ 的公共点的极坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a^{2} | + | x - a + 1 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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