北京市西城区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ A D C = 80^{°}$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、40° B、80° C、100° D、120°

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2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（）

A、 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ B、 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} - 1$ D、 $y = {(x + 2)}^{2} + 1$

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3. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（）

A、 $5 π$ B、 $10 π$ C、 $20 π$ D、 $25 π$

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4. 如图，在 $Δ A B C$ 中，以C为中心，将 $Δ A B C$ 顺时针旋转35°得到 $Δ D E C$ ，边 $E D$ ， $A C$ 相交于点F，若 $∠ A = 30^{°}$ ，则 $∠ E F C$ 的度数为（）

A、60° B、65° C、72.5° D、115°

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5. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于E，若 $∠ A B C = 30^{°}$ ， $O E = \sqrt{3}$ ，则 $O D$ 长为（）

A、3 B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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6. 下列关于抛物线 $y = x^{2} + b x - 2$ 的说法正确的是（）

A、抛物线的开口方向向下 B、抛物线与y轴交点的坐标为 $(0, 2)$ C、当 $b > 0$ 时，抛物线的对称轴在y轴右侧 D、对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点

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7. $A (- \frac{1}{2}, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ ， $C (4, y_{3})$ 三点都在二次函数 $y = - {(x - 2)}^{2} + k$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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8. 如图， $A B = 5$ ，O是 $A B$ 的中点，P是以点O为圆心， $A B$ 为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，B可以重合），连接 $P A$ ，过P作 $P M ⊥ A B$ 于点M．设 $A P = x$ ， $A P - A M = y$ ，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 函数 $y = a x^{2} + b x + c (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 的图象如图所示，则该函数的最小值是．

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点D，E分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，添加一个条件使得 $Δ A D E ∽ Δ A C B$ ，添加的一个条件是．

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11. 如图， $Δ A B O$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (- 4 ， 0)$ ， $O (0 ， 0)$ ，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与 $Δ A B O$ 的相似比为 $\frac{1}{2}$ ．则画出的一个三角形为．

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12. 如图，A，B两点的坐标分别为 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， \sqrt{3})$ ，将线段 $B A$ 绕点B顺时针旋转得到线段 $B C$ ．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为°．

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13. 在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示。若 $a_{1} = 1$ 米， $a_{2} = 10$ 米， $h = 1.5$ 米，则这个学校教学楼的高度为米．

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14. 我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 $π \approx 3.14$ ．

刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长 $p_{6} = 6 R$ ，计算 $π \approx \frac{p_{6}}{2 R} = 3$ ；圆内接正十二边形的周长 $p_{12} = 24 R \sin 15^{°}$ ，计算 $π \approx \frac{p_{12}}{2 R} = 3.10$ ；请写出圆内接正二十四边形的周长 $p_{24} =$ ，计算 $π \approx$ ．（参考数据： $\sin 15^{°} \approx 0.258$ ， $\sin {7.5}^{°} \approx 0.130$ ）

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15. 在关于x的二次函数

y = a x^{2} + b x + c

中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：

x	…	1	2	3	4	5	6	7	8	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	$- 3.19$	$- 3.10$	$- 2.71$	$- 2.05$	$- 1.10$	$0.14$	$1.47$	$3.48$	…

根据以上信息，关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位小数）．

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，E是边 $B C$ 的中点，点P在边 $A D$ 上，设 $D P = x$ ，若以点D为圆心， $D P$ 为半径的 $⊙ D$ 与线段 $A E$ 只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．

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三、解答题

17. 计算 $3 \tan 30^{°} + 4 \cos 45^{°} - 2 \sin 60^{°}$ ．

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；

(2)、利用图象回答：当x取什么值时， $y < 0$ ．

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，E是 $A D$ 上一点，且 $B E = B D$ ．

(1)、求证： $Δ A B E ∽ Δ A C D$ ；

(2)、若 $B D = 1$ ， $C D = 2$ ，求 $\frac{A E}{A D}$ 的值．

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20. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边 $B C$ 的延长线上，连接 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ ．

(1)、判断 $Δ D E F$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $E F = 4 \sqrt{2}$ ，则 $Δ D E F$ 的面积为．

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21. 某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．

(1)、如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；

(2)、如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P B$ ， $P C$ 是 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为B，C．连接 $P O$ 交 $⊙ O$ 于点D，交 $B C$ 于点E，连接AC．

(1)、求证： $O E = \frac{1}{2} A C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $A C = 6$ ，求 $P B$ 的长．

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23. 图1是一个倾斜角为 $α$ 的斜坡的横截面， $\tan α = \frac{1}{2}$ ．斜坡顶端B与地面的距离 $B C$ 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系 $y = a x^{2} + b x$ （a，b是常数， $a \neq 0$ ），图2记录了x与y的相关数据．

(1)、求y关于x的函数关系式；

(2)、斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B A D = 90^{°}$ ， $A C$ 是对角线。点E在 $B C$ 的延长线上，且 $∠ C E D = ∠ B A C$ ．

(1)、判断 $D E$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、 $B A$ 与 $C D$ 的延长线交于点F，若 $D E / / A C$ ， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ，求 $A F$ 的长．

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25. 下面给出六个函数解析式： $y = \frac{1}{2} x^{2}$ ， $y = \sqrt{3} x^{2} + 1$ ， $y = - x^{2} - \frac{1}{2} | x |$ ， $y = 2 x^{2} - 3 | x | - 1$ ， $y = - x^{2} + 2 | x | + 1$ ， $y = - 3 x^{2} - | x | - 4$ ．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质。下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：

(1)、观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如 $y =$ ，其中x为自变量；

(2)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出了函数 $y = - x^{2} + 2 | x | + 1$ 的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；

(3)、对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称

②有些函数既有最大值，同时也有最小值

③存在某个函数，当 $x > m$ （m为正数）时，y随x的增大而增大，当 $x < - m$ 时，y随x的增大而减小

④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个

所有符合题意结论的序号是；

(4)、结合函数图象，解决问题：若关于x的方程 $- x^{2} + 2 | x | + 1 = - x + k$ 有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 2 m x - 2 m - 2$ ．

(1)、若该抛物线与直线 $y = 2$ 交于A，B两点，点B在y轴上．求该抛物线的表达式及点A的坐标；

(2)、横坐标为整数的点称为横整点．
①将（1）中的抛物线在A，B两点之间的部分记作 $G_{1}$ （不含A，B两点），直接写出 $G_{1}$ 上的横整点的坐标；

②抛物线 $y = x^{2} - 2 m x - 2 m - 2$ 与直线 $y = - x - 2$ 交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分记作 $G_{2}$ （不含C，D两点），若 $G_{2}$ 上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

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27. $Δ A B C$ 是等边三角形，点P在 $B C$ 的延长线上，以P为中心，将线段 $P C$ 逆时针旋转n°（ $0 < n < 180$ ）得线段 $P Q$ ，连接 $A P$ ， $B Q$ ．

(1)、如图，若 $P C = A C$ ，画出当 $B Q / / A P$ 时的图形，并写出此时n的值；

(2)、M为线段 $B Q$ 的中点，连接 $P M$ ．写出一个n的值，使得对于 $B C$ 延长线上任意一点P，总有 $M P = \frac{1}{2} A P$ ，并说明理由．

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28. 对于给定的 $Δ A B C$ ，我们给出如下定义：若点M是边 $B C$ 上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在 $Δ A B C$ 的内部或边上，则称这样的半圆为 $B C$ 边上的点M关于 $Δ A B C$ 的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于 $Δ A B C$ 的最大内半圆．若点M是边 $B C$ 上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于 $Δ A B C$ 的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为 $B C$ 关于 $Δ A B C$ 的内半圆．

(1)、在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = 2$ ，
①如图1，点D在边 $B C$ 上，且 $C D = 1$ ，直接写出点D关于 $Δ A B C$ 的最大内半圆的半径长；

②如图2，画出 $B C$ 关于 $Δ A B C$ 的内半圆，并直接写出它的半径长；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点E的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点P在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上运动（P不与O重合），将 $O E$ 关于 $Δ O E P$ 的内半圆半径记为R，当 $\frac{3}{4} ⩽ R ⩽ 1$ 时，求点P的横坐标t的取值范围．

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