北京市门头沟区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象分布的象限是（）

A、第一、三象限 B、第二、四象限 C、第一象限 D、第二象限

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2. ⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（）

A、无法确定 B、点P在⊙O外 C、点P在⊙O上 D、点P在⊙O内

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3. 将抛物线 y=2x² 的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）

A、y=2(x-2)²-3 B、 y=2(x-2)²+3 C、2(x+2)²-3 D、 2(x+2)²+3

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4. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么 $\sin A$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 如图是一个正方体纸盒，在下面四个平面图形中，是这个正方体纸盒展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于O ， AD平分∠CAB交 $\overset{⌢}{B C}$ 于点D ，连接CD ， OD ， BD ．下列结论中正确的是（）

A、AC∥OD B、 $C E = O E$ C、△ODE∽△ADO D、 $A C = 2 C D$

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7. 对于不为零的两个实数a ， b ，如果规定a★b $= {\begin{matrix} \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{2} b (a > b) ， \\ - \frac{b}{a} (a \leq b) . \end{matrix}$ ，那么函数 $y = x ★ 2$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校800名学生上个月A ， B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ， B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

下面有四个推断：

①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用A支付的概率为0.3；

②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ， B两种支付方式都使用的概率为0.45；

③估计全校仅使用B支付的学生人数为200人；

④这100名学生中，上个月仅使用A和仅使用B支付的学生支付金额的中位数为800元．

其中合理推断的序号是（）

A、①② B、①③ C、①④ D、②③

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二、填空题

9. 如果∠A是锐角，且sinA= $\frac{1}{2}$ ，那么∠A=゜．

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10. 在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是（填序号）．

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11. 如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，那么abc0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）．

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12. 写出一个具有性质“在每个象限内y随x的增大而减小”的反比例函数的表达式为.

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13. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为．

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14. “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23 $\sqrt{3}$ 米，那么永定楼的高度BC是米（结果保留根号）．

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15. 如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率折线图，则符合图中这一结果的实验可能是（填序号）.
①抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；

②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；

③四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1.

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16. 张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲45元/套，礼品乙50元/套，礼品丙70元/套，礼品丁80元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到100元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的80%．
①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付元；

②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则x的最大值为．

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三、解答题

17. 计算： $| - \sqrt{3} | - {(2 - \sqrt{2})}^{0} - \tan 60 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、用配方法将其化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

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19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（ $- 1$ ，3），B（ $- 4$ ，2），C（0， $- 1$ ）．

⑴以y轴为对称轴，把△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△ $A_{1} B_{1} C$ ；

⑵在（1）的基础上，

①以点C为旋转中心，把△ $A_{1} B_{1} C$ 顺时针旋转90°，画出旋转后的△ $A_{2} B_{2} C$ ；

②点 $A_{2}$ 的坐标为（），在旋转过程中点 $B_{1}$ 经过的路径 $\overset{⌢}{B_{1} B_{2}}$ 的长度为（）（结果保留π）．

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20. 下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．

已知：如图1，△ABC ．

求作：AB边上的高线．

作法：如图2，

①分别以A ， C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长

为半径作弧，两弧分别交于点D ， E；

② 作直线DE ，交AC于点F；

③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB的延长线于点M；

④ 连接CM ．

则CM 为所求AB边上的高线．

根据上述作图过程，回答问题：

(1)、用直尺和圆规，补全图2中的图形；

(2)、完成下面的证明：
证明：连接DA ， DC ， EA ， EC ，

∵由作图可知DA=DC =EA=EC ，

∴DE是线段AC的垂直平分线．

∴FA=FC ．

∴AC是⊙F的直径．

∴∠AMC=°（）（填依据），

∴CM⊥AB ．

即CM就是AB边上的高线．

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21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ， AB⊥BD于点B ．已知∠A = 45°，∠C= 60°， $C D = 2$ ，求AD的长．

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} - m x + 2 m - 4$ ．

(1)、求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；

(2)、如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为正数，求m的最小整数值．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 交于点A（2，a）．

(1)、求a与k的值；

(2)、画出双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的示意图；

(3)、设点 $P (m ， n)$ 是双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 上一点（P与A不重合），直线 $P A$ 与y轴交于点 $B (0 ， b)$ ，当 $A B = 2 B P$ 时，结合图象，直接写出b的值．

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24. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W ，图形W与AB ， BC分别交于点D ， E ，连接AE ， DE ， ∠AED=∠B ．

(1)、判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．

(2)、若 $B C = 4$ ， $\tan B = \frac{1}{2}$ ，求OB ．

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25. 如图，

\overset{⌢}{A B}

是直径AB所对的半圆弧，点C在

\overset{⌢}{A B}

上，且∠CAB =30°，D为AB边上的动点（点D与点B不重合），连接CD ，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E ．

小明根据学习函数的经验，对线段AE ， AD长度之间的关系进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)、对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE ， AD长度的几组值，如下表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8	位置9
AE/cm	0.00	0.41	0.77	1.00	1.15	1.00	0.00	1.00	4.04	…
AD/cm	0.00	0.50	1.00	1.41	2.00	2.45	3.00	3.21	3.50	…

在AE ， AD的长度这两个量中，确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数；

(2)、在下面的平面直角坐标系

x O y

中，画出（1）中所确定的函数的图象；

(3)、结合画出的函数图象，解决问题：当AE=

\frac{1}{2}

AD时，AD的长度约为cm(结果精确到0.1)．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 2 a (a \neq 0)$ 的顶点为P ，且与y轴交于点A ，与直线 $y = - a$ 交于点B ， C（点B在点C的左侧）.

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 2 a (a \neq 0)$ 的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.
①当 $a = 2$ 时，请直接写出“W区域”内的整点个数；

②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

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27. 如图，∠MON=60°，OF平分∠MON ，点A在射线OM上， P ， Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA ，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM ， OF ， ON于点D ， B ， C ，连接AB ， PB ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、判断线段 AB ， PB之间的数量关系，并证明；

(3)、连接AP ，设 $\frac{A P}{O Q} = k$ ，当P和Q两点都在射线ON上移动时， $k$ 是否存在最小值？若存在，请直接写出 $k$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的图形M ， N ，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M ， N的“近距离”，记作 d（M ， N）．若图形M ， N的“近距离”小于或等于1，则称图形M ， N互为“可及图形”．

(1)、当⊙O的半径为2时，如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A ， ⊙O）= ， d（B ， ⊙O）= ；

(2)、当⊙O的半径为2时，如果直线 $y = x + b$ 与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；

(3)、⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线 $y = - x + 5$ 与x轴交于点C ，与y轴交于点D ，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．

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