北京市海淀区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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4. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∕ ∕ B C$ ，点 $E ， F$ 分别是边 $A D ， B C$ 上的点， $A F$ 与 $B E$ 交于点O， $A E = 2 ， B F = 1$ ，则 $Δ A O E$ 与 $Δ B O F$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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5. 若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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6. 如图，OA交⊙O于点B ， AD切⊙O于点D ，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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7. 在同一平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + 1$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数 $y = | x | - 3$ 的图象上的“好点”共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象经过（2，y₁），（3，y₂）两点，则y₁y₂ ．（填“＞”，“＝”或“＜”）

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10. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 1 = 0$ 的一个解是 $x = 1$ ，则 $2020 - a - b =$ .

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11. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D ， E$ 分别是边 $A B ， A C$ 上的点， $D E / / B C ， A D = 1 ， B D = A E = 2$ ，则 $E C$ 的长为.

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12. 如图，在平面直角坐标系中有两点 $A (6 ， 0)$ 和 $B (6 ， 3)$ ，以原点O为位似中心，相似比为 $\frac{1}{2}$ ，把线段 $A B$ 缩短为线段 $C D$ ，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且 $C D$ 在y轴右侧，则点D的坐标为.

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13. 下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.

种子个数	100	400	900	1500	2500	4000
发芽种子个数	92	352	818	1336	2251	3601
发芽种子频率	0. 92	0. 88	0. 91	0. 89	0. 90	0. 90

根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为.

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14. 如图， $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连结 $A D ， B D$ ，其中 $B D$ 与 $A C$ 交于点E. 写出图中所有与 $Δ A D E$ 相似的三角形：.

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知函数 $y_{1} = \frac{3}{x} (x > 0)$ 和 $y_{2} = - \frac{1}{x} (x < 0)$ ，点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象于A，B两点，连接 $A N$ ， $B N$ ，则 $△ A B N$ 的面积为．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ， $C$ 为平面内的动点，且满足 $∠ A C B = 90^{°}$ ， $D$ 为直线 $y = x$ 上的动点，则线段 $C D$ 长的最小值为.

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三、解答题

17. 解一元二次方程：x²﹣2x﹣3＝0．

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 与 $Δ A D E$ 中， $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ ，且 $∠ E A C = ∠ D A B$ .
求证： $Δ A B C \sim Δ A D E$ .

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19. 某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 $80 k m / h$ 的平均速度用 $6 h$ 到达目的地.

(1)、当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？

(2)、如果该司机返回到甲地的时间不超过 $5 h$ ，那么返程时的平均速度不能小于多少？

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20. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C B}$ ， $C D ⊥ O A$ 于点D， $C E ⊥ O B$ 于点E.

(1)、求证： $C D = C E$ ；

(2)、若 $∠ A O B = 120 ° ， O A = 2$ ，求四边形 $D O E C$ 的面积.

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ .

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一个根为负数，求m的取值范围.

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22. 一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.

(1)、用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；

(2)、请判断这个游戏是否公平，并说明理由.

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23. 如图， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 2 ， B C = 8$ ，射线 $C D ⊥ B C$ 于点C，E是线段 $B C$ 上一点，F是射线 $C D$ 上一点，且满足 $∠ A E F = 90 °$ .

(1)、若 $B E = 3$ ，求 $C F$ 的长；

(2)、当 $B E$ 的长为何值时， $C F$ 的长最大，并求出这个最大值.

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A是直线 $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点A.

(1)、若点A是第一象限内的点，且 $A B = A C$ ，求k的值；

(2)、当 $A B > A C$ 时，直接写出k的取值范围.

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25. 如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C ．过点A作MC的垂线，垂足为D ，线段AD与⊙O相交于点E ．

(1)、求证：AC是∠DAB的平分线；

(2)、若AB＝10，AC＝4 $\sqrt{5}$ ，求AE的长．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax²﹣2ax+4（a≠0）.

(1)、当a＝1时，
①抛物线G的对称轴为x＝；

②若在抛物线G上有两点（2，y₁），（m，y₂），且y₂＞y₁ ，则m的取值范围是；

(2)、抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.

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27. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD ，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P ，点B关于点D的对称点为Q ，连接PQ ．

(1)、当△ABD为等边三角形时，
①依题意补全图1 ；

②PQ的长为；

(2)、如图2，当α＝45°，且BD＝ $\frac{4}{3}$ 时，求证：PD＝PQ；

(3)、设BC＝t ，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (a ， b)$ 和实数 $k (k > 0)$ ，给出如下定义：当 $k a + b > 0$ 时，以点P为圆心， $k a + b$ 为半径的圆，称为点P的k倍相关圆.
例如，在如图1中，点 $P (1 ， 1)$ 的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆.

(1)、在点 $P_{1} (2 ， 1) ， P_{2} (1 ， - 3)$ 中，存在1倍相关圆的点是，该点的1倍相关圆半径为.

(2)、如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足 $∠ M O N = 30 °$ ，判断直线 $O N$ 与点M的 $\frac{1}{2}$ 倍相关圆的位置关系，并证明.

(3)、如图3，已知点 $A (0 ， 3) ， B (1 ， m)$ ，反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象经过点B，直线l与直线 $A B$ 关于y轴对称.

①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为.

②点D在直线 $A B$ 上，点D的 $\frac{1}{3}$ 倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心， $h R$ 为半径的圆与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值.

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