北京市丰台区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数y=(x+1)²-2的最小值是（）

A、1　　 B、－1　 C、2　 D、－2

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2. 如图，在△ $A B C$ 中， $D E$ ∥ $B C$ ，如果 $A D = 3$ ， $B D = 6$ ， $A E = 2$ ，那么 $A C$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $9$

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3. 在 $Rt$ △ $A B C$ 中，∠ $C = 90 °$ ，如果 $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，那么cosA的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠ $A O B =$ $140$ °，那么∠ $A C B$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $70 °$ C、 $110 °$ D、 $140 °$

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5. 设A（ x₁ ， y₁）、B （x₂ ， y₂）是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象上的两点．若x₁＜x₂＜0，则y₁与y₂之间的关系是（）

A、y₁＜y₂＜0 B、y₂＜y₁＜0 C、y₂＞y₁＞0 D、y₁＞y₂＞0

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6. 如图，在扇形 $O A B$ 中，∠ $A O B = 90 °$ ， $O A = 2$ ，则阴影部分的面积是（）

A、 $2$ B、 $π$ C、 $2π$ D、 $π - 2$

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7. 定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 $y = a x^{2} + b x + c$ (a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（）

x (单位：m)

$0$

$2$

$4$

y (单位：m)

$2.25$

$3.45$

3.05

A、 $1.5 m$ B、 $2 m$ C、 $2.5 m$ D、 $3 m$

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8. 我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图 $1$ )，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图 $2$ 是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.

图1 图2

有如下四个结论：

①勒洛三角形是中心对称图形

②图1中，点A到 $B C$ 上任意一点的距离都相等

③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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二、填空题

9. 如果 $\frac{a - b}{a} = \frac{1}{2}$ ，那么 $\frac{b}{a} =$ ．

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10. 如果 $\tan α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，那么锐角 $α =$ °．

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11. 在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为m．

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12. 如图， $A B$ 是⊙O的一条弦， $O D$ ⊥ $A B$ 于点C，交⊙O于点D，连接OA. 如果 $A B = 8$ ， $C D = 2$ ，那么⊙O的半径为．

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13. 请你写出一个函数，使它的图象与直线 $y = x$ 无公共点，这个函数的表达式为．

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14. 如图所示的网格是正方形网格，△ $A B C$ 和△ $C D E$ 的顶点都是网格线交点，那么∠ $B A C +$ ∠ $C D E =$ °．

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15. 将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：

⑴如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；

⑵如图2，再将纸片分别沿EC ， BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O ．那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是．

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16. 某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点处(填A，B，C或D)，此点距地面的高度为m．

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三、解答题

17. 计算： $2 \sin 30 ° - \cos 45 ° + \tan^{2} 60 °$ ．

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18. 如图，E是▱ABCD的边 $B A$ 延长线上一点，连接 $E C$ ，交 $A D$ 于点F．求证：△ $E B C$ ∽△CDF．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中画出该函数的图象；

(2)、当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的两个交点分别为点P(m，1)和点Q．

(1)、求k的值和点Q的坐标；

(2)、如果点A为x轴上的一点，且∠ $P A Q = 90^{°}$ 直接写出点A的坐标．

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21. 习近平总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．为贯彻习总书记的指示，实现精准脱贫，某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量y(袋)与每袋的售价x(元)之间关系如下表：

每袋的售价x(元)

…

20

30

…

日销售量y(袋)

…

20

10

…

如果日销售量y (袋)是每袋的售价x(元)的一次函数，请回答下列问题：

(1)、求日销售量y(袋)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；

(2)、求日销售利润P(元)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；

(3)、当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？
(提示：每袋的利润=每袋的售价 $-$ 每袋的成本)

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22. 中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：
（一）、在城市道路范围内，在不影响行人、车辆通行的情况下，政府有关部门可以规划停车泊位.停车泊位的排列方式有三种，如图所示：

（二）、双向通行道路，路幅宽 $12$ 米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽 $8$ 米到 $12$ 米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽 $8$ 米以下的，不能设停车泊位；

（三）、规定小型停车泊位，车位长 $6$ 米，车位宽 $2.5$ 米；

（四）、设置城市道路路内机动车停车泊位后，用于单向通行的道路宽度应不小于 $4$ 米.

根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为 $14$ 米的双向通行车道设置同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：

(1)、可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为；

(2)、如果这段道路长 $100$ 米，那么在道路两侧最多可以设置停车泊位个.
(参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ )

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23. 如图，点O为∠ABC的边 $B C$ 上的一点，过点O作OM⊥AB于点M，到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W．图形W与射线 $B C$ 交于E，F两点(点在点F的左侧).

(1)、过点M作 $M H ⊥ B C$ 于点H，如果BE=2， $\sin ∠ A B C = \frac{2}{3}$ ，求MH的长；

(2)、将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD，使得∠ $C B D$ $+ ∠ M O B = 90 °$ ，判断射线BD与图形W公共点的个数，并证明．

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24. 在二次函数的学习中，教材有如下内容：

小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程 $x^{3} - 2 x^{2} + 1 = 0$ 的近似解，做法如下：

请你选择小聪或小明的做法，求出方程 $x^{3} - 2 x^{2} + 1 = 0$ 的近似解(精确到0.1).

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C_{1}$ ： $y = m x^{2} + 2 m x + m - 1$ 沿x轴翻折得到抛物线 $C_{2}$ .

(1)、求抛物线 $C_{2}$ 的顶点坐标；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当 $m = 1$ 时，求抛物线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；

② 如果抛物线C₁和C₂围成的封闭区域内(包括边界)恰有 $7$ 个整点，求m取值范围．

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26. 如图，∠MAN=90°，B，C分别为射线 $A M$ ， $A N$ 上的两个动点，将线段 $A C$ 绕点A逆时针旋转 $30 °$ 到 $A D$ ，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点E．

(1)、当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出 $\frac{D E}{B E}$ 的值；

(2)、写出一个∠ACB的度数，使得 $\frac{D E}{B E} = \frac{1}{2}$ ，并证明．

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27. 平面直角坐标系 $x O y$ 中有点P和某一函数图象M，过点P作x轴的垂线，交图象M于点Q，设点P，Q的纵坐标分别为 $y_{P}$ ， $y_{Q}$ ．如果 $y_{P} > y_{Q}$ ，那么称点P为图象M的上位点；如果 $y_{P} = y_{Q}$ ，那么称点P为图象M的图上点；如果 $y_{P} < y_{Q}$ ，那么称点P为图象M的下位点．

(1)、已知抛物线 $y = x^{2} - 2$ .
① 在点A(-1，0)，B(0，-2)，C(2，3)中，是抛物线的上位点的是；

② 如果点D是直线 $y = x$ 的图上点，且为抛物线的上位点，求点D的横坐标 $x_{D}$ 的取值范围；

(2)、将直线 $y = x + 3$ 在直线 $y = 3$ 下方的部分沿直线 $y = 3$ 翻折，直线 $y = x + 3$ 的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G．⊙H的圆心H在x轴上，半径为 $1$ ．如果在图象G和⊙H上分别存在点E和点F，使得线段EF上同时存在图象G的上位点，图上点和下位点，求圆心H的横坐标 $x_{H}$ 的取值范围．

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x (单位：m)	$0$	$2$	$4$
y (单位：m)	$2.25$	$3.45$	3.05

每袋的售价x(元)	…	20	30	…
日销售量y(袋)	…	20	10	…