2016年高考文数真题试卷（山东卷）

试卷更新日期：2016-06-13 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.

1. 设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁_U（A∪B）=（　　）

A、{2，6} B、{3，6} C、{1，3，4，5} D、{1，2，4，6}

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2. 若复数z= $\frac{2}{1 - i}$ ，其中i为虚数单位，则 $\bar{z}$ =（　　）

A、1+i B、1﹣i C、﹣1+i D、﹣1﹣i

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3.
某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A、56 B、60 C、120 D、140

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4. 若变量x，y满足 ${\begin{cases} x + y \leq 2 \\ 2 x - 3 y \leq 9 \\ x \geq 0 \end{cases}$ ，则x²+y²的最大值是（　　）

A、4 B、9 C、10 D、12

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5.
一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ π B、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{\sqrt{2}}{3}$ π C、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{\sqrt{2}}{6}$ π D、1+ $\frac{\sqrt{2}}{6}$ π

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6. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知圆M：x²+y²﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2 $\sqrt{2}$ ，则圆M与圆N：（x﹣1）²+（y﹣1）²=1的位置关系是（　　）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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8. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a²=2b²（1﹣sinA），则A=（　　）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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9. 已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x³﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ $\frac{1}{2}$ 时，f（x+ $\frac{1}{2}$ ）=f（x﹣ $\frac{1}{2}$ ）．则f（6）=（　　）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、2

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10. 若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）

A、y=sinx B、y=lnx C、y=e^x D、y=x³

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为．

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12. 观察下列等式：
（sin $\frac{π}{3}$ ）^﹣²+（sin $\frac{2 π}{3}$ ）^﹣²= $\frac{4}{3}$ ×1×2；
（sin $\frac{π}{5}$ ）^﹣²+（sin $\frac{2 π}{5}$ ）^﹣²+（sin $\frac{3 π}{5}$ ）^﹣²+sin（ $\frac{4 π}{5}$ ）^﹣²= $\frac{4}{3}$ ×2×3；
（sin $\frac{π}{7}$ ）^﹣²+（sin $\frac{2 π}{7}$ ）^﹣²+（sin $\frac{3 π}{7}$ ）^﹣²+…+sin（ $\frac{6 π}{7}$ ）^﹣²= $\frac{4}{3}$ ×3×4；
（sin $\frac{π}{9}$ ）^﹣²+（sin $\frac{2 π}{9}$ ）^﹣²+（sin $\frac{3 π}{9}$ ）^﹣²+…+sin（ $\frac{8 π}{9}$ ）^﹣²= $\frac{4}{3}$ ×4×5；
…
照此规律，
（sin $\frac{π}{2 n + 1}$ ）^﹣²+（sin $\frac{2 π}{2 n + 1}$ ）^﹣²+（sin $\frac{3 π}{2 n + 1}$ ）^﹣²+…+（sin $\frac{2 n π}{2 n + 1}$ ）^﹣²= ．

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13. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，﹣1）， $\vec{b}$ =（6，﹣4），若 $\vec{a}$ ⊥（t $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），则实数t的值为．

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14. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．

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15. 已知函数f（x）= ${\begin{cases} | x | ， x \leq m \\ x^{2} - 2 m x + 4 m ， x > m \end{cases}$ ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．

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三、解答题：本大题共6小题，共75分

16.
某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．

(1)、求小亮获得玩具的概率；

(2)、请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

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17. 设f（x）=2 $\sqrt{3}$ sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）² ．

(1)、求f（x）的单调递增区间；

(2)、把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（ $\frac{π}{6}$ ）的值．

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18.
在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

(1)、已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；

(2)、已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

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19. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1 ．

(1)、求数列{b_n}的通项公式；

(2)、令c_n= $\frac{{(a_{n} + 1)}^{n + 1}}{{(b_{n} + 2)}^{n}}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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20. 设f（x）=xlnx﹣ax²+（2a﹣1）x，a∈R．

(1)、令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；

(2)、已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

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21.
已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 $\frac{k'}{k}$ 为定值；
②求直线AB的斜率的最小值．

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