2016年高考理数真题试卷（浙江卷）

试卷更新日期：2016-06-13 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x²≥4}，则P∪（∁_RQ）=（　　）

A、[2，3] B、（﹣2，3] C、[1，2） D、（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）

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2. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A、m∥l B、m∥n C、n⊥l D、m⊥n

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3. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域 ${\begin{cases} x - 2 \leq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x - 3 y + 4 \geq 0 \end{cases}$ 中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（　　）

A、2 $\sqrt{2}$ B、4 C、3 $\sqrt{2}$ D、6

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4. 命题“∀x∈R，∃n∈N^* ，使得n≥x²”的否定形式是（　　）

A、∀x∈R，∃n∈N^* ，使得n＜x² B、∀x∈R，∀n∈N^* ，使得n＜x² C、∃x∈R，∃n∈N^* ，使得n＜x² D、∃x∈R，∀n∈N^* ，使得n＜x²

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5. 设函数f（x）=sin²x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（　　）

A、与b有关，且与c有关 B、与b有关，但与c无关 C、与b无关，且与c无关 D、与b无关，但与c有关

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6.
如图，点列{A_n}、{B_n}分别在某锐角的两边上且|A_nA_n+1|=|A_n+1A_n+2|，A_n≠A_n+1 ， n∈N^* ， |B_nB_n+1|=|B_n+1B_n+2|，B_n≠B_n+1 ， n∈N^* ，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d_n=|A_nB_n|，S_n为△A_nB_nB_n+1的面积，则（　　）

A、{S_n}是等差数列 B、{S_n²}是等差数列 C、{d_n}是等差数列 D、{d_n²}是等差数列

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7. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{m^{2}}$ +y²=1（m＞1）与双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{n^{2}}$ ﹣y²=1（n＞0）的焦点重合，e₁ ， e₂分别为C₁ ， C₂的离心率，则（　　）

A、m＞n且e₁e₂＞1 B、m＞n且e₁e₂＜1 C、m＜n且e₁e₂＞1 D、m＜n且e₁e₂＜1

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8. 已知实数a，b，c．（　　）

A、若|a²+b+c|+|a+b²+c|≤1，则a²+b²+c²＜100 B、若|a²+b+c|+|a²+b﹣c|≤1，则a²+b²+c²＜100 C、若|a+b+c²|+|a+b﹣c²|≤1，则a²+b²+c²＜100 D、若|a²+b+c|+|a+b²﹣c|≤1，则a²+b²+c²＜100

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二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9. 若抛物线y²=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．

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10. 已知2cos²x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A= ， b= ．

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11.
某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm² ，体积是cm³ ．

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12. 已知a＞b＞1，若log_ab+log_ba= $\frac{5}{2}$ ，a^b=b^a ，则a= ， b= ．

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13. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^* ，则a₁= ， S₅= ．

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14.
如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．

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15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |=2，若对任意单位向量 $\vec{e}$ ，均有| $\vec{a}$ • $\vec{e}$ |+| $\vec{b}$ • $\vec{e}$ |≤ $\sqrt{6}$ ，则 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ 的最大值是．

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三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

(1)、证明：A=2B

(2)、若△ABC的面积S= $\frac{a^{2}}{4}$ ，求角A的大小．

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17.
如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，

(1)、求证：EF⊥平面ACFD；

(2)、求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

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18. 已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x²﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）= ${\begin{cases} p, p \leq q \\ q, p > q \end{cases}$

(1)、求使得等式F（x）=x²﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围

(2)、（1）求F（x）的最小值m（a）

(3)、求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

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19.
如图，设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ +y²=1（a＞1）

(1)、求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）

(2)、若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

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20. 设数列满足|a_n﹣ $\frac{a_{n} + 1}{2}$ |≤1，n∈N^* ．

(1)、求证：|a_n|≥2ⁿ^﹣¹（|a₁|﹣2）（n∈N^*）

(2)、若|a_n|≤（ $\frac{3}{2}$ ）ⁿ ， n∈N^* ，证明：|a_n|≤2，n∈N^* ．

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