2016年高考文数真题试卷（全国甲卷）

试卷更新日期：2016-06-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1. 已知集合A={1，2，3}，B={x|x²＜9}，则A∩B=（　　）

A、{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B、{﹣2，﹣1，0，1，2} C、{1，2，3} D、{1，2}

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2. 设复数z满足z+i=3﹣i，则 $\bar{z}$ =（　　）

A、﹣1+2i B、1﹣2i C、3+2i D、3﹣2i

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3.
函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）

A、y=2sin（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ） B、y=2sin（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ） C、y=2sin（x+ $\frac{π}{6}$ ） D、y=2sin（x+ $\frac{π}{3}$ ）

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4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）

A、12π B、 $\frac{32}{3}$ π C、8π D、4π

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5. 设F为抛物线C：y²=4x的焦点，曲线y= $\frac{k}{x}$ （k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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6. 圆x²+y²﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）

A、﹣ $\frac{4}{3}$ B、﹣ $\frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7.
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A、20π B、24π C、28π D、32π

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8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{10}$

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9.
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　）

A、7 B、12 C、17 D、34

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10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lgx的定义域和值域相同的是（　　）

A、y=x B、y=lgx C、y=2^x D、y= $\frac{1}{\sqrt{x}}$

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11. 函数f（x）=cos2x+6cos（ $\frac{π}{2}$ ﹣x）的最大值为（　　）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x²﹣2x﹣3|与 y=f（x）图象的交点为（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_m ， y_m），则 $\sum_{i = 1}^{m}$ x_i=（　　）

A、0 B、m C、2m D、4m

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（m，4）， $\vec{b}$ =（3，﹣2），且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则m= ．

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14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x - 3 \leq 0 \end{cases}$ ，则z=x﹣2y的最小值为．

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15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= $\frac{4}{5}$ ，cosC= $\frac{5}{13}$ ，a=1，则b= ．

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16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是和．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 等差数列{a_n}中，a₃+a₄=4，a₅+a₇=6．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=[a_n]，求数列{b_n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．

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18. 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10

(1)、记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；

(2)、记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；

(3)、求续保人本年度的平均保费估计值．

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19.
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

(1)、证明：AC⊥HD′；

(2)、若AB=5，AC=6，AE= $\frac{5}{4}$ ，OD′=2 $\sqrt{2}$ ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．

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20. 已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．

(1)、当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

(2)、若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

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21. 已知A是椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3}$ =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

(1)、当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积

(2)、当2|AM|=|AN|时，证明： $\sqrt{3}$ ＜k＜2．

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22.
[选修4-1：几何证明选讲]
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

(1)、证明：B，C，G，F四点共圆；

(2)、若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

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23. [选项4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）²+y²=25．

(1)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)、直线l的参数方程是 ${\begin{cases} x = t \cos α \\ u y = t \sin α \end{cases}$ （t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|= $\sqrt{10}$ ，求l的斜率．

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24. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣ $\frac{1}{2}$ |+|x+ $\frac{1}{2}$ |，M为不等式f（x）＜2的解集．

(1)、求M；

(2)、证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．

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上年度出险次数	0	1	2	3	4	≥5
保费	0.85a	a	1.25a	1.5a	1.75a	2a

出险次数	0	1	2	3	4	≥5
频数	60	50	30	30	20	10