2016年高考文数真题试卷（四川卷）

试卷更新日期：2016-06-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 设i为虚数单位，则复数（1+i）²=（　　）

A、0 B、2 C、2i D、2+2i

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2. 设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 抛物线y²=4x的焦点坐标是（　　）

A、（0，2） B、（0，1） C、（2，0） D、（1，0）

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4. 为了得到函数y=sin $(x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）

A、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向上平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向下平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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5. 设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知a为函数f（x）=x³﹣12x的极小值点，则a=（　　）

A、﹣4 B、﹣2 C、4 D、2

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7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）

A、2018年 B、2019年 C、2020年 D、2021年

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8.
秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（　　）

A、35 B、20 C、18 D、9

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9. 已知正三角形ABC的边长为2 $\sqrt{3}$ ，平面ABC内的动点P，M满足| $\vec{A P}$ |=1， $\vec{P M}$ = $\vec{M C}$ ，则| $\vec{B M}$ |²的最大值是（　　）

A、 $\frac{43}{4}$ B、 $\frac{49}{4}$ C、 $\frac{37 + 6 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{37 + 2 \sqrt{33}}{4}$

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10. 设直线l₁ ， l₂分别是函数f（x）= ${\begin{cases} - \ln x ， 0 < x < 1 \\ l n x ， x > 1 \end{cases}$ 图象上点P₁ ， P₂处的切线，l₁与l₂垂直相交于点P，且l₁ ， l₂分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A、（0，1） B、（0，2） C、（0，+∞） D、（1，+∞）

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共25分.

11. sin750°= ．

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12.
已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．

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13. 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log_ab为整数的概率是．

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14. 若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x ，则f（﹣ $\frac{5}{2}$ ）+f（2）= ．

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15. 在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（ $\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ ， $\frac{- x}{x^{2} + y^{2}}$ ），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是．

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三、解答题（共6小题，满分75分）

16.
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中的a值；

(2)、设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

(3)、估计居民月均用水量的中位数．

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17.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= $\frac{1}{2}$ AD．

(1)、在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

(2)、证明：平面PAB⊥平面PBD．

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ ．

(1)、证明：sinAsinB=sinC；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{6}{5} b c$ ，求tanB．

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19. 已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N⁺

(1)、若a₂ ， a₃ ， a₂+a₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{a_{n}^{2}}$ =1的离心率为e_n ，且e₂=2，求e₁²+e₂²+…+e_n² ．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（ $\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ）在椭圆E上．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设不过原点O且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，
证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳

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21. 设函数f（x）=ax²﹣a﹣lnx，g（x）= $\frac{1}{x} - \frac{e}{e^{x}}$ ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、证明：当x＞1时，g（x）＞0；

(3)、确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．

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