安徽省合肥市蜀山区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-11-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $\frac{3}{a} = \frac{4}{b}$ ，则 $\frac{2 a}{a - b}$ 等于（）

A、6 B、-6 C、2 D、-2

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3. 把抛物线 $y = 3 {(x + 1)}^{2} - 2$ 向右平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = 3 x^{2}$ B、 $y = 3 x^{2} - 4$ C、 $y = 3 {(x + 2)}^{2}$ D、 $y = 3 {(x + 2)}^{2} - 4$

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4. 在△ABC中，∠C $=$ 90°．若AB $=$ 3，BC $=$ 1，则 $sin A$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $3$

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5. 如图，点 $C 、 D$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上，点 $O$ 为圆心， $∠ D C O = 55 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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6. 若点A（1，y₁），B（2，y₂），C（﹣2，y₃）都在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、 $y_{1}$ ＜ $y_{2}$ ＜ $y_{3}$ B、 $y_{2}$ ＜ $y_{3}$ ＜ $y_{1}$ C、 $y_{1}$ ＜ $y_{3}$ ＜ $y_{2}$ D、 $y_{3}$ ＜ $y_{2}$ ＜ $y_{1}$

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7. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点 $A 、 B$ ，其横坐标分别为 $x_{1}, x_{2},$ 若 $x_{1} < 0 < x_{2},$ 且 $| x_{1} | > x_{2},$ 则（）

A、 $b > 0, c > 0$ B、 $b > 0, c < 0$ C、 $b < 0, c > 0$ D、 $b < 0, c < 0$

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8. 《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何? ”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 $8$ 步，股(长直角边)长为 $15$ 步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（）

A、6步 B、7步 C、8步 D、9步

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D ， E ， F$ 分别在边 $A B ， A C ， B C$ 上，且 $D E / / B C ， E F / / A B$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $\frac{A D}{E F} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{B D}{B F} = \frac{C E}{C F}$ C、 $\frac{A D}{A E} = \frac{B D}{C E}$ D、 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{B F}$

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10. 如图，一段抛物线 $y = - x^{2} + 6 x (0 \leq x \leq 6)$ ，记为抛物线 $C_{1}$ ，它与 $x$ 轴交于点 $O 、 A_{1}$ ；将抛物线 $C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转 $180 °$ 得抛物线 $C_{2}$ ，交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ；将抛物线 $C_{2}$ 绕点 $A_{2}$ 旋转 $180 °$ 得抛物线 $C_{3}$ ，交 $x$ 轴于点 $A_{3}$ .···如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点 $M (2020 ， m)$ 在此“波浪线”上，则 $m$ 的值为（）

A、-6 B、6 C、-8 D、8

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二、填空题

11. 点 $P (1, 1)$ 向左平移两个单位后恰好位于双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上，则 $k =$ ．

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12. 已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为.

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 2 ， t a n B = \frac{3}{4} ， C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D ， D E ⊥ B C$ ，垂足为点 $E$ ，则 $D E =$ ．

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14. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为原点，抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，以 $O P$ 为一边向左作正方形 $O P B C$ ，点 $A$ 为抛物线的顶点，当 $△ A B P$ 是锐角三角形时， $c$ 的取值范围是．

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三、解答题

15. 计算: $4 c o s 60 ° - | - 2 s i n 30 ° | + {(t a n 45 °)}^{- 1}$ .

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16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 $1$ 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ .

(1)、以点 $B$ 为位似中心，在 $y$ 轴的左侧将 $△ A B C$ 放大得到 $△ A_{1} B C_{1}$ ，使得 $△ A_{1} B C_{1}$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的4倍，在网格中画出图形，并直接写出点 $A 、 C$ 所对应的点 $A_{1} 、 C_{1}$ 的坐标.

(2)、在网格中，画出 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

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17. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ .

(1)、用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；

(2)、在所给坐标系中画出该二次函数的图象，并直接写出当 $y > 0$ 时自变量 $x$ 的取值范围.

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18. 如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．

(1)、求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)、若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圆的半径.

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19. 已知，如图，斜坡 $P A$ 的坡度为 $1 ： 2.4$ ，斜坡 $A P$ 的水平长度为 $24$ 米.在坡顶 $A$ 处的同一水平面上有一座 $5 G$ 信号塔 $B C$ ，在斜坡底 $P$ 处测得该塔的塔顶 $B$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ，在坡项 $A$ 处测得该塔的塔顶 $B$ 的仰角为 $60^{\circ}$ .求：

(1)、坡顶 $A$ 到地面 $P Q$ 的距离；

(2)、信号塔 $B C$ 的高度.( $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到 $0.1$ 米)

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20. 已知，如图， $A D$ 是直角三角形 $A B C$ 斜边上的中线， $A E ⊥ A D ， A E$ 交 $C B$ 的延长线于点 $E$ .

(1)、求证： $△ B A E \sim △ A C E$ ；

(2)、若 $A F ⊥ B D$ ，垂足为点 $F$ ，且 $B E \cdot C E = 9$ ，求 $E F \cdot D E$ 的值.

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21. 如图，点 $P$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $C$ 在直径 $A B$ 的延长线上，且 $∠ C P B = ∠ C A P$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $C P$ 的延长线于点 $D$ .

(1)、判断直线 $C P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $C B = 2 ， C P = 4$ ，求：① $⊙ O$ 的半径，② $P D$ 的长.

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22. 某景区平面图如图1所示， $A 、 B 、 C 、 E 、 D$ 为边界上的点.已知边界 $C E D$ 是一段抛物线，其余边界均为线段，且 $A D ⊥ A B ， B C ⊥ A B ， A D = B C = 3 ， A B = 8$ ，抛物线顶点 $E$ 到 $A B$ 的距离 $O E = 7$ .以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴， $O E$ 所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系.

(1)、求边界 $C E D$ 所在抛物线的解析式；

(2)、如图2，该景区管理处欲在区域 $A B C E D$ 内围成一个矩形 $M N P Q$ 场地，使得点 $M 、 N$ 在边界 $A B$ 上，点 $P 、 Q$ 在边界 $C E D$ 上，试确定点 $P$ 的位置，使得矩形 $M N P Q$ 的周长最大，并求出最大周长.

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23. 如图，在边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是射线 $B C$ 上一动点(点 $P$ 不与点 $B$ 重合)，连接 $A P 、 D P$ ，点 $E$ 是线段 $A P$ 上一点，且 $∠ A D E = ∠ A P D$ ，连接 $B E$ .

(1)、求证： $A D^{2} = A E \cdot A P$ ；

(2)、求证： $B E ⊥ A P$ ；

(3)、直接写出 $\frac{D P}{A P}$ 的最小值.

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