广东省深圳、汕头、潮州、揭阳名校2021届第一学期高三联考数学试题

试卷更新日期：2020-11-02 类型：高考模拟

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 在复平面内，复数 $i (i + 2)$ 对应的点的坐标为（）.

A、 $(1, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(2, - 1)$

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2. 已知R为实数集，集合 $A = {x | y = \lg (x + 3)}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $∁_{R} (A \cup B) =$ （）.

A、 ${x | x > - 3}$ B、 ${x | x < - 3}$ C、 ${x | x \leq - 3}$ D、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $| x - 2 | < 1$ ”是“ $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ”的（）.

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、不充分不必要条件

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4. ${(\frac{1}{x} - x)}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（）.

A、-210 B、-120 C、120 D、210

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5. 若 $a > b > c > 1$ ，且 $a c < b^{2}$ ，则（）.

A、 $\log_{a} b > \log_{b} c > \log_{c} a$ B、 $\log_{b} a > \log_{c} b > \log_{a} c$ C、 $\log_{b} c > \log_{a} b > \log_{c} a$ D、 $\log_{c} b > \log_{b} a > \log_{a} c$

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，公比为q， $a_{1} > 1$ ， $a_{6} + a_{7} > a_{6} a_{7} + 1 > 2$ ，记 ${a_{n}}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，则下列选项错误的是（）.

A、 $0 < q < 1$ B、 $a_{6} > 1$ C、 $T_{12} > 1$ D、 $T_{13} > 1$

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7. 已知圆锥的高为3，底面半径为 $\sqrt{3}$ ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积比值为（）.

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{32}{9}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{25}{9}$

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8. 已知圆 $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2 \sqrt{2})}^{2} = 1$ 和焦点为F的抛物线 $C_{2} : y^{2} = 8 x$ ，点N是圆 $C_{1}$ 上一点，点M是抛物线 $C_{2}$ 上一点，点M在 $M_{1}$ 时， $| M F | + | M N |$ 取得最小值，点M在 $M_{2}$ 时， $| M F | - | M N |$ 取得最大值，则 $| M_{1} M_{2} | =$ （）.

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

9. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 3, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 1)$ ，设 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则（）.

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ D、 $θ = 135 °$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ， $x \in R$ ，则（）.

A、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上只有一个零点 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线过点 $P (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，点F为双曲线C的右焦点，则下列结论正确的是（）.

A、双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、双曲线C的渐近线方程为 $x - \sqrt{2} y = 0$ C、若点F到双曲线C的渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、设O为坐标原点，若 $| P O | = | P F |$ ，则 $S_{△ P O F} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义域为R的函数，满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ， $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则下列说法正确的是（）.

A、函数 $f (x)$ 的周期为4 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、当 $0 \leq x \leq 4$ 时， $f (x)$ 的最大值为2 D、当 $6 \leq x \leq 8$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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14. 已知正数a，b满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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15. 有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

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16. 已知直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x}$ 的一条切线，则 $k + b$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题共6小题，共70分．）

17. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $2 \sin (2 C - \frac{π}{3}) = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $a = 2 \sqrt{2}$ ，求角A；

(2)、求△ABC面积的最大值.

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18. 从①前n项和 $S_{n} = n^{2} + p (p \in R)$ ② $a_{6} = 11$ 且 $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ 这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答.
在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， ▲ ，其中 $n \in N^{*}$ .

⑴求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

⑵若 $a_{1}$ ， $a_{n}$ ， $a_{m}$ 成等比数列，其中m， $n \in N^{*}$ ，且 $m > n > 1$ ，求m的最小值.

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19. 已知三棱锥 $M - A B C$ 中， $M A = M B = M C = A C = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = B C = 2$ ，O为AC的中点，点N在边BC上，且 $B N = \frac{2}{3} B C$ .

(1)、求证： $B O ⊥$ 平面AMC；

(2)、求二面角 $N - A M - C$ 的余弦值.

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20. 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第5局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分，现有甲乙两队进行排球比赛：

(1)、若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局. 接下来两队赢得每局比赛的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

(2)、若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局比赛. 在决胜局（第5局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权，若甲发球时甲赢1分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙发球时甲赢1分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 $x (x \leq 4)$ 个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率 $P (x)$ .

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21. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点.

(1)、若P是第一象限内该椭圆上的一点， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - \frac{5}{4}$ ，求点P的坐标；

(2)、设过定点 $M (0, 2)$ 的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = a x^{2} - a - \ln x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、确定a的所有可能取值，使得 $f (x) > \frac{1}{x} - e^{1 - x}$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 内恒成立（ $e = 2.718 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数）

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

四、解答题（本题共6小题，共70分．）

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