2016年高考理数真题试卷（山东卷）

试卷更新日期：2016-06-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1. 若复数z满足2z+ $\vec{Z}$ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　）

A、1+2i B、1﹣2i C、﹣1+2i D、﹣1﹣2i

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2. 设集合A={y|y=2^x ， x∈R}，B={x|x²﹣1＜0}，则A∪B=（　　）

A、（﹣1，1） B、（0，1） C、（﹣1，+∞） D、（0，+∞）

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3.
某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A、56 B、60 C、120 D、140

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4. 若变量x，y满足 ${\begin{cases} x + y \leq 2 \\ 2 x - 3 y \leq 9 \\ x \geq 0 \end{cases}$ ，则x²+y²的最大值是（　　）

A、4 B、9 C、10 D、12

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5.
一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ π B、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{\sqrt{2}}{3}$ π C、 $\frac{1}{3}$ + $\frac{\sqrt{2}}{6}$ π D、1+ $\frac{\sqrt{2}}{6}$ π

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6. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 函数f（x）=（ $\sqrt{3}$ sinx+cosx）（ $\sqrt{3}$ cosx﹣sinx）的最小正周期是（　　）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、 $\frac{3 π}{2}$ D、2π

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8. 已知非零向量 $\vec{π}$ ， $\vec{n}$ 满足4| $\vec{π}$ |=3| $\vec{n}$ |，cos＜ $\vec{π}$ ， $\vec{n}$ ＞= $\frac{1}{3}$ ．若 $\vec{n}$ ⊥（t $\vec{π}$ + $\vec{n}$ ），则实数t的值为（　　）

A、4 B、﹣4 C、 $\frac{9}{4}$ D、﹣ $\frac{9}{4}$

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9. 已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x³﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ $\frac{1}{2}$ 时，f（x+ $\frac{1}{2}$ ）=f（x﹣ $\frac{1}{2}$ ）．则f（6）=（　　）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、2

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10. 若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）

A、y=sinx B、y=lnx C、y=e^x D、y=x³

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.
执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．

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12. 若（ax²+ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁵的展开式中x⁵的系数是﹣80，则实数a= ．

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13. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．

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14. 在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）²+y²=9相交”发生的概率为．

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15. 已知函数f（x）= ${\begin{cases} | x | ， x \leq 2 \\ x^{2} - 2 m x + 4 m ， x > m \end{cases}$ ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．

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三、解答题,：本大题共6小题，共75分.

16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= $\frac{\tan A}{\cos B} + \frac{\tan B}{\cos A}$ ．

(1)、证明：a+b=2c；

(2)、求cosC的最小值．

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17.
在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

(1)、已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

(2)、已知EF=FB= $\frac{1}{2}$ AC=2 $\sqrt{3}$ AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

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18. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1 ．

(1)、求数列{b_n}的通项公式；

(2)、令c_n= $\frac{{(a_{n} + 1)}^{n + 1}}{{(b_{n} + 2)}^{n}}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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19. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

(1)、“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)、“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

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20. 已知f（x）=a（x﹣lnx）+ $\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ ，a∈R．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ $\frac{3}{2}$ 对于任意的x∈[1，2]成立．

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21.
平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线E：x²=2y的焦点F是C的一个顶点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
①求证：点M在定直线上；
②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S₁ ， △PDM的面积为S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值及取得最大值时点P的坐标．

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