2016年高考理数真题试卷（上海卷）
试卷更新日期：2016-06-10 类型：高考真卷
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
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1. 设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为 ．
2. 设Z= ，其中i为虚数单位，则Imz= ．
3. 已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离 ．4. 某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．5. 已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）= ．6. 在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于 ．7. 方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为 ．
8. 在（ ）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．9. 已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．10. 设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为 ．
11. 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，则k的最大值为 ．12. 在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y= 上一个动点，则 • 的取值范围是 ．
13. 设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣ ）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 ．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai ， Aj ， 点P满足 + + = ，则点P落在第一象限的概率是 ．
二、选择题
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15. 设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ）
A、ρ=6+5cosθ B、ρ=6+5sinθ C、ρ=6﹣5cosθ D、ρ=6﹣5sinθ17. 已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn ， 且 =S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（ ）
A、a1＞0，0.6＜q＜0.7 B、a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C、a1＞0，0.7＜q＜0.8 D、a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.718. 设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A、①和②均为真命题 B、①和②均为假命题 C、①为真命题，②为假命题 D、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）
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19.
将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 π，A1B1长为 ，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
(1)、求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；(2)、求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．20.有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2 ， 其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图
(1)、求菜地内的分界线C的方程；(2)、菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为 ．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的经验值．21. 双曲线x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．(1)、直线l的倾斜角为 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)、设b= ，若l的斜率存在，且（ ）• =0，求l的斜率．22. 已知a∈R，函数f（x）=log2（ +a）．(1)、当a=5时，解不等式f（x）＞0；(2)、若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．(3)、设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．23. 若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1 ， 则称{an}具有性质P．(1)、若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；(2)、若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn ， 判断{an}是否具有性质P，并说明理由；(3)、设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1 ， {an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．