安徽省铜陵市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {a, b, c, d, e}$ ，集合 $A = {a, b, c, d}$ ， $B = {c, d, e}$ ，则集合 $C_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 ${d}$ B、 ${a, b}$ C、 ${b, c, d}$ D、 ${a, b, e}$

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2. 若集合 $A = {1 ， x ， 4}$ ， $B = {1 ， x^{2}}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则 $x =$ （）

A、2，或-2，或0 B、2，或-2，或0，或1 C、2 D、±2

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3. $\cos 600 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 1 = 0}$ ，则下列关系中表示正确的有（）
① $1 \in A$ ；② ${- 1} \in A$ ；③ $\emptyset \subseteq A$ ；④ ${- 1, 1} \subseteq A$

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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5. 用二分法研究函数 $f (x) = x^{5} + 8 x^{3} - 1$ 的零点时，第一次经过计算得 $f (0) < 0$ ， $f (0.5) > 0$ ，则其中一个零点所在的区间和等二次应计算的函数值分别为（）

A、 $(0, 0.5)$ ， $f (0.125)$ B、 $(0.5, 1)$ ， $f (0.25)$ C、 $(0.5, 1)$ ， $f (0.75)$ D、 $(0, 0.5)$ ， $f (0.25)$

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6. 已知 $\frac{π}{2} < α < π ， 3 \sin 2 α = 2 \cos α$ ，则 $\cos (π - α)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} (x \leq 1) \\ \log_{\frac{1}{2}} x (x > 1) \end{matrix}$ ，则函数 $y = f (1 - x)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a = {1.9}^{0.6}, b = \log_{0.6} 1.9, c = {0.6}^{1.9}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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9. 已知函数 $f (x) = a^{x - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象经过定点 $P$ 且 $P$ 在幂函数 $h (x)$ 的图象上，则 $h (x)$ 的表达式为（）

A、 $h (x) = x^{2}$ B、 $h (x) = x^{- 1}$ C、 $h (x) = x^{- 2}$ D、 $h (x) = x^{3}$

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10. 将函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 1$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若当 $x \in [\frac{π}{4}, x_{0})$ 时， $g (x)$ 的图象与直线 $y = a (1 \leq a < 2)$ 恰有两个公共点，则 $x_{0}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{7 π}{12}, \frac{5 π}{4})$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{7 π}{12}]$ C、 $(\frac{7 π}{12}, \frac{5 π}{4}]$ D、 $(\frac{π}{3}, \frac{5 π}{4}]$

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11. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2} \times$ （弦×矢 $+$ 矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角 $\frac{2 π}{3}$ ，弦长为 $4 \sqrt{3}$ 米的弧田，则按上述经验公式计算所得弧田的面积约是__________平方米（）（注： $\sqrt{3} \approx 1.73 ， π \approx 3.14$ ）

A、6 B、9 C、10 D、12

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12. 函数 $f (x) = \frac{1}{| x | - 1}$ 的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题：
①“囧函数”的定义域为 ${x | x \neq 1}$ ；②“囧函数”的图象关于直线 $x = 1$ 对称；③当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f {(x)}_{\max} = - 1$ ；④函数 $g (x) = f (x) - x^{2} + 1$ 有3个零点.其中正确命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 计算： $8^{\frac{1}{3}} + {(- 5)}^{0} =$ .

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14. 已知 $\sin 2 α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos^{2} (α - \frac{π}{4}) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \sin ω x$ （ $ω$ 为正整数）在区间 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{12})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{2} + \frac{18}{x}, 2 \leq x \leq 12 \\ a x - 12 a + \frac{15}{2}, 12 < x \leq 18 \end{array}$ ，若对于任意的实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in [2, 18]$ ，均存在以 $f (x_{1}), f (x_{2}), f (x_{3})$ 为三边边长的三角形，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，函数 $y = \sqrt{2 \sin x - \sqrt{3}}$ 的定义域为A，集合 $B = {x | 2 \leq x \leq 4}$ ，求：

(1)、集合A．

(2)、 $A \cap B$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \cos (2 x - \frac{π}{4})$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 $x$ 的值.

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19. 暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.

(1)、写出夏令营每位同学需交费用 $y$ （单位：元）与夏令营人数 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？

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20. 设函数 $f (x) = \log_{2} (a^{x} - b^{x})$ ，且 $f (1) = 1, f (2) = \log_{2} 12$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(3)、设 $g (x) = a^{x} - b^{x}$ ，求 $g (x)$ 在 $[0, 4]$ 上的值域.

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21. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的函数解析式；

(2)、若对任意的 $x \in [a - 1, a + 1]$ ，不等式 $5 f (x) \leq f (x + a)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = | x - 2 a + 1 | ， g (x) = | x - a | + 1 ， x \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $φ (x) = f (x) + g (x)$ 的最小值；

(2)、若 $g (x) \geq f (x)$ 对于任意 $x \in [a ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x \in [1 ， 6]$ ，求函数 $h (x) = \max {e^{f (x)} ， e^{g (x)}}$ 的最小值.

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