安徽省马鞍山市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果点 $P (\sin θ, \cos θ)$ 位于第三象限，那么角 $θ$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 函数 $y = \tan (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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3. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ ，则 $\sin α$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象的一条对称轴方程是（）

A、 $x = \frac{π}{6}$ B、 $x = - \frac{π}{6}$ C、 $x = \frac{π}{12}$ D、 $x = - \frac{π}{12}$

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5. 若向量 $\vec{a} = (3, 0), \vec{b} = (2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小是（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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6. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，它们的夹角为 $60 °$ ，那么 $| 3 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、13

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7. 函数 $y = sin 2 x$ 的图象是由函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位而得到 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位而得到 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位而得到 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位而得到

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8. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

A、 $y = x^{2} + sin x$ B、 $y = x^{2} - cos x$ C、 $y = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ D、 $y = x + sin 2 x$

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9. 已知 $α$ 是第二象限角，且 $\tan α = - \frac{5}{12}$ ，则 $\cos α$ 值是（）

A、 $- \frac{5}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $- \frac{12}{13}$

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10. 如图，圆心为 $C$ 的圆的半径为 $r$ ，弦 $A B$ 的长度为2，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C}$ 的值为（）

A、 $r$ B、 $2 r$ C、1 D、2

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点， $\overset{⇀}{A G} = 2 \overset{⇀}{G D}$ ，则用向量 $\overset{⇀}{A B} ， \overset{⇀}{A C}$ 表示 $\overset{⇀}{B G}$ 为（）

A、 $\overset{⇀}{B G} = - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{B G} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{B G} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{B G} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$

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12. 若函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ 对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (\frac{π}{3} - x) = f (x)$ ．若函数 $g (x) = \cos (ω x + φ) - 1$ ，则 $g (\frac{π}{6})$ 的值是（）

A、-2 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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二、填空题

13. $\sin 600^{\circ}$ ＝.

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14. 已知 $\overset{⇀}{A B} = (2, k)$ ， $\overset{⇀}{C B} = (1, 3)$ ， $\overset{⇀}{C D} = (2, - 1)$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则 $k =$ .

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15. 化简 $\sqrt{1 - 2 \sin 2 \cos 2} =$ .

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16. 若向量 $\vec{a} = (2, x + 1)$ ， $\vec{b} = (x + 2, 6)$ ，又 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $x$ 的取值范围为.

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17. 给出下列命题:
①函数 $y = \cos (\frac{2}{3} x + \frac{π}{2})$ 是奇函数；

②存在实数 $x$ ，使 $\sin x + \cos x = 2$ ；

③若 $α$ ， $β$ 是第一象限角且 $α < β$ ，则 $\tan α < \tan β$ ；

④函数 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{3}, 2]$ ；

⑤函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 成中心对称.其中正确命题的序号为.

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三、解答题

18. 已知 $\cos α = \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 是第四象限角.

(1)、求 $\sin α$ 的值.

(2)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} - α)}{\sin (α + π)} \cdot \frac{\tan (α - π)}{\cos (3 π - α)}$ 的值.

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19. 已知 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，求 $θ$ .

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20. 已知关于 $x$ 的偶函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + φ) ， (- π < φ < 0)$ .

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、求使 $f (x) \geq 1$ 成立的 $x$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + ϕ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < π)$ 的一段图像如图所示.

(1)、求此函数的解析式；

(2)、求此函数在 $(- 2 π ， 2 π)$ 上的单调递增区间.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $| \overset{⇀}{O A} | = 2 | \overset{⇀}{A B} | = 2$ ， $∠ O A B = \frac{2 π}{3}$ ， $\overset{⇀}{B C} = (- 1 ， \sqrt{3})$ .

(1)、求点B，点 $C$ 的坐标；

(2)、求四边形 $O A B C$ 的面积.

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