安徽省六安市舒城县2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x \geq 0 ， x \in R} ， N = {x | x^{2} < 1 ， x \in R}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、[0，1] B、[0，1） C、(0，1 ] D、(0，1)

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2. 函数 $f (x) = \frac{\lg (2 x - 1)}{x^{2} - 4}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2} ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 2) \cup (2 ， + \infty)$

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3. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = - \sin x$ C、 $y = | x | + 1$ D、 $y = - \cos x$

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4. 把函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ ，那么 $g (\frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 若 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ - \cos θ}$ ＝2，则sinθcosθ的值是（）

A、－ $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、± $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 若 $a > b > 1 ， 0 < c < 1$ ，则（）

A、 $a^{c} < b^{c}$ B、 $c^{b} < c^{a}$ C、 $\log_{b} c < \log_{a} c$ D、 $\log_{c} b < \log_{c} a$

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7. 函数 $y = \cos^{2} x + \sin x - 1$ 的值域为（）

A、 $[- \frac{1}{4} ， \frac{1}{4}]$ B、 $[0 ， \frac{1}{4}]$ C、 $[- 2 ， \frac{1}{4}]$ D、 $[- 1 ， \frac{1}{4}]$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的周期为2的函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 4^{x} - 1$ ，则 $f (4.5)$ 的值为（）

A、2 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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9. 函数f(x)= $\frac{\sin x + x}{\cos x + x^{2}}$ 在[- $π$ ， $π$ ]。的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 关于函数 $f (x) = \sin | x | + | \sin x |$ 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（ $\frac{π}{2}$ , $π$ ）单调递增③f(x)在 $[- π, π]$ 有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）

A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③

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11. 同时具备以下性质：“①最小周期是 $π$ ；②图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；③在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数；④一个对称中心为 $(\frac{π}{12} ， 0)$ ”的一个函数是（）

A、 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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12. 定义域为R的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \lg | x - 3 | ， x \neq 3 ， \\ 3 ， x = 3 ， \end{array}$ 若函数 $F (x) = {[f (x)]}^{2} + b \cdot f (x) + c$ 有且只有3个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $\ln (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ 的值为（）

A、6 B、ln6 C、3ln2 D、3ln3

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13. 函数 $f (x) = \lg | x |$ 的零点是（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(1, 0)$ 和 $(- 1, 0)$ C、1 D、1和-1

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14. 若不等式 $lg \frac{1 + 2^{x} + (1 - a) 4^{x}}{4} \geq (x - 1) lg 4$ 对任意的 $x \in (- \infty, 1]$ 恒成立,则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、(-∞,0] B、(-∞, $\frac{3}{4}$ ] C、[0,＋∞) D、[ $\frac{3}{4}$ ,＋∞)

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15. 函数 $f (x) = \log_{a} (6 - a x)$ 在 $(0, 3]$ 为减函数，则a的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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二、填空题

16. 函数y=tan（ $\frac{x}{2}$ + $\frac{π}{4}$ ），x∈（0， $\frac{π}{6}$ ]的值域是．

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17. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (2) =$ .

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18. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 单调递增，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的x取值范围是.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} \cos \frac{π}{2} x ， 0 \leq x \leq 4 \\ \log_{\frac{1}{4}} (x - 3) + 1 ， x > 4 \end{cases}$ ，若实数 $a ， b ， c$ 互不相等，且满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是.

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1, x > 0 \\ g (x), x \leq 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $g (x) =$ .

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三、解答题

21. 已知角 $α$ 终边上的一点 $P (5 m, - 12 m)$ ，（ $m > 0$ ）.

(1)、求 $\frac{\cos (\frac{π}{2} + α) \sin (- π - α)}{\cos (\frac{11 π}{2} - α) \sin (\frac{9 π}{2} + α)}$ 的值；

(2)、求 $2 + \sin α \cos α - \cos^{2} α$ 的值.

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22. 已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 4 m + 2}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，函数 $g (x) = 2^{x} - k$ ；

(1)、求m的值；

(2)、当 $x \in [1 ， 2]$ 时，记 $f (x)$ 、 $g (x)$ 的值域分别是A、B，若 $A \cup B = A$ ，求实数k的取值范围；

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23. 已知函数 $f (x) = 2 + \log_{2} x$ ， $x \in [1, 4]$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、设 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 f (x) - a$ ，若 $g (x)$ 的图像恒在x轴上方，求a的范围.

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24. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如下图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 的单调减区间.

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25. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气 $4 min$ 后，测得车库内的一氧化碳浓度为 $64 μ L / L$ ，继续排气 $4 min$ ，又测得浓度为 $32 μ L / L$ ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度 $y (μ L / L)$ 与排气时间 $t (\min)$ 存在函数关系： $y = c {(\frac{1}{2})}^{m t}$ （ $c$ ， $m$ 为常数）．

(1)、求 $c$ ， $m$ 的值；

(2)、若地下车库中一氧化碳浓度不高于 $0.5 μ L / L$ 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

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26. 2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当 $0 \leq x < 6$ 时，y是x的二次函数；当 $x \geq 6$ 时， $y = {(\frac{1}{3})}^{x - t}$ 测得数据如下表（部分）：

x（单位：克）

0

1

2

9

…

y

0

$\frac{7}{4}$

3

$\frac{1}{9}$

…

(1)、求y关于x的函数关系式 $y = f (x)$ ；

(2)、当该产品中的新材料含量x为何值时，产品的性能指标值最大.

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27. 设函数 $f (x) = \frac{a^{2 x} - (t - 1)}{a^{x}}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）是定义域为R的奇函数.

(1)、求t的值；

(2)、若 $f (1) > 0$ ，求使不等式 $f (k x - x^{2}) + f (x - 1) < 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立的实数k的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $(1, \frac{3}{2}]$ ，是否存在正数m（ $m \neq 1$ ），使函数 $g (x) = \log_{m} [a^{2 x} + a^{- 2 x} - m f (x)]$ 在 $[1, \log_{2} 3]$ 上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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28. 已知 $f (x) = \log_{a} \frac{1 - x}{1 + x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、当 $x \in (- t, t]$ （其中 $t \in (- 1, 1)$ ，且t为常数）时， $f (x)$ 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；

(2)、当 $a > 1$ 时，求满足不等式 $f (x - 2) + f (4 - 3 x) \geq 0$ 的实数x的取值范围.

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x（单位：克）	0	1	2	9	…
y	0	$\frac{7}{4}$	3	$\frac{1}{9}$	…