安徽省淮南市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 2 \\ x - y = 0 \end{array}$ 的解构成的集合是（）

A、 ${1}$ B、 $(1, 1)$ C、 ${(1, 1)}$ D、 ${1, 1}$

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2. 已知 $cos α = - \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 为第二象限角，那么 $tan α = ($ $)$

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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3. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x}$ B、 $f (x) = \lg | x |$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 3^{x} - \frac{1}{3^{x}}$

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4. 函数 $y = \sin (\frac{1}{2} x + φ) (0 \leq φ \leq π)$ 是 $R$ 上的偶函数，则 $φ$ 的值是（）．

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、π

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5. 函数 $f (x) = l g x + x - 2$ 的零点所在的区间（）．

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 10)$

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6. 若 $\cos (\frac{π}{6} + α) = - \frac{1}{3}$ ，那么 $\sin (\frac{2 π}{3} + α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}, b = \log_{2} 3 ， c = \log_{4} 7$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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8. 要得到函数y=cos( $\frac{x}{2} - \frac{π}{4}$ )的图像，只需将y=sin $\frac{x}{2}$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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9. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}$ ,若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ,则 $m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，若点 $(m ， y_{1})$ ， $(2 - 2 m ， y_{2})$ 都是函数 $f (x)$ 图象上的点，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ C、 $(\frac{2}{3} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{2}{3})$

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二、填空题

11. $\sin^{2} 1^{°} + \sin^{2} 2^{°} + \sin^{2} 88^{°} + \sin^{2} 89^{°} =$ .

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12. 设扇形的半径为 $3 c m$ ，周长为 $8 c m$ ，则扇形的面积为 $c m^{2}$

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13. 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 范围内,函数 $y = \tan x$ 与函数 $y = \sin x$ 的图象交点有个.

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14. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， φ \in [0 ， 2 π))$ 的部分图象如图所示，则 $f (2020) =$ .

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15. 已知 $m \in R$ ,函数 $f (x) = | x^{2} - m | + m$ 在 $[\sqrt{2}, \sqrt{5}]$ 的最大值是5,则m的取值范围是.

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三、解答题

16. 计算：（Ⅰ） $\lg 4 + \lg 25 + \log_{3} \frac{\sqrt{27}}{3} - e^{\ln 4}$ ；
（Ⅱ） ${(\sqrt{2 \sqrt{2}})}^{\frac{4}{3}} - 4 \times {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} \times 8^{0.25} - 2019^{0}$ .

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17.

(1)、已知 $3 sin x + cos x = 0$ ，求 ${sin}^{2} x + 2 sin x cos x + {cos}^{2} x$ 的值；

(2)、已知 $cos (\frac{π}{2} - α) = - \sqrt{2} cos (\frac{3 π}{2} - β)$ ， $\sqrt{3} sin (\frac{3 π}{2} - α) = - \sqrt{2} sin (\frac{π}{2} + β)$ ，且 $\frac{π}{2} < α < π, 0 < β < π$ ，求 $α, β$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )，且 $\frac{f (5)}{f (2)} = 8$ .

(1)、若 $f (2 m - 3) < f (m + 2)$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若方程 $| f (x) - 1 | = t$ 有两个解，求实数 $t$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \cos 2 x - \sin x + a$ 的最大值为 $\frac{17}{8}$ .

(1)、求 $a$ 的值;

(2)、若 $f (α) = 2$ , $α$ 在第三象限,求 $\sin (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (ω x + \frac{π}{4}) - \sqrt{3} \cos (2 ω x) - 1 (ω > 0)$ ， $f (x)$ 的最小正期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、方程 $f (x) - 2 n + 1 = 0$ 在 $[0 ， \frac{7}{12} π]$ 上有且只有一个解，求实数 $n$ 的取值范围；

(3)、是否存在实数 $m$ 满足对任意 $x_{1} \in [- 1 ， 1]$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $4^{x_{1}} + 4^{- x_{1}} + m (2^{x_{1}} - 2^{- x_{1}}) + 1 > f (x_{2})$ 成立.若存在，求 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

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