安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x < 0}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则集合B可能是（）

A、 ${x | x > - 1}$ B、R C、 ${- 2 ， - 3}$ D、 ${- 3 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \lg (1 + x)$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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3. 三个数 $a = {0.4}^{2}, b = \log_{2} 0.4, c = 2^{0.4}$ 之间的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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4. 函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、关于点（－ $\frac{π}{6}$ ，0）对称 B、关于原点对称 C、关于y轴对称 D、关于直线x= $\frac{π}{6}$ 对称

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5. 函数f(x)＝lgx－ $\frac{1}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、(0，1) B、(1，10) C、(10，100) D、(100，＋∞)

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6. 已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）

A、4 cm² B、6 cm² C、8 cm² D、16 cm²

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7. 已知 $\cos (π + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{8}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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8. 已知函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 在闭区间 $[0 ， m]$ 有最大值3，最小值2，则m的取值范围为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[1 ， 2]$

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9. 曲线 $C_{1} ： y = \sin x$ ，曲线 $C_{2} ： y = \cos 2 x$ ，下列说法正确的是（）

A、将 $C_{1}$ 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $C_{2}$ B、将 $C_{1}$ 上所有点横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $C_{2}$ C、将 $C_{1}$ 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得到 $C_{2}$ D、将 $C_{1}$ 上所有点横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得到 $C_{2}$

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10. 如图，函数 $f (x)$ 的图象为折线 $A C B$ ，则不等式 $f (x) \geq \log_{2} (x + 1)$ 的解集是（）

A、 ${x | - 1 < x \leq 0}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ D、 ${x | - 1 < x \leq 2}$

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11. 函数 $f (x) = \ln \frac{x (e^{x} - e^{- x})}{2}$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 B、奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 C、偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 D、偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增

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12. 已知函数 $f (x)$ 是R上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - a$ ，若函数 $f (x)$ 恰有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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13. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ，实数 $a$ ， $b$ 满足不等式 $f (2 a + b) + f (4 - 3 b) > 0$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $b - a < 2$ B、 $a + 2 b > 2$ C、 $b - a > 2$ D、 $a + 2 b < 2$

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二、填空题

14. 函数 $f (x) = a^{x - 2019} + 2019$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象所过的定点坐标是.

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15. $f (x) = {\begin{matrix} \log_{4} (1 + x), x \geq 0 \\ 1 - x, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (- 1) + f (1) =$ ．

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16. 已知 $\sin α - 2 \cos α = 0$ ，则 $3 \sin α \cos α - \cos^{2} α$ 的值是.

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17. 已知幂函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，若 $f (a + 1) < f (10 - 2 a)$ ，则a的取值范围是.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}} (x > 0)$ ，若 $f (a + 1) < f (10 - 2 a)$ ，则a的取值范围是.

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三、解答题

19. 已知集合 $A = {x | 2 \leq 3 x - 1 \leq 8}, B = {x | 2 x - 1 < 5}, C = {x | x \leq a 或 x \geq a + 1}$ ．

(1)、求 $A \cap B, A \cup B$ ；

(2)、若 $(C_{R} C) \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 计算

(1)、 $\log_{2} 24 + \lg \frac{1}{2} - \log {}_{3}{\sqrt{27}} + \lg 2 - \log_{2} 3$

(2)、 ${(\sqrt[3]{3} \times \sqrt{2})}^{6} - {(\frac{1}{9})}^{－ \frac{3}{2}} - {(- 8)}^{0}$

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 8) x - a - a b$ 的零点是-3和2

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式.

(2)、当函数 $f (x)$ 的定义域是 $[0 ， 1]$ 时求函数 $f (x)$ 的值域.

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22. 已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最小值和最大值．

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23. 某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形 $A O B$ 的圆心角 $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形 $O M N H$ ，其中 $M$ ， $H$ 分别在 $O A$ ， $O B$ 上， $N$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上．设 $∠ M O N = θ$ ，平行四边形 $O M N H$ 的面积为 $S$ .

(1)、将 $S$ 表示为关于 $θ$ 的函数；

(2)、求 $S$ 的最大值及相应的 $θ$ 值．

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24. 已知 $f (x) = \log_{2} (2 - x) + \log_{2} (2 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、求证： $f (x)$ 为偶函数；

(3)、指出方程 $f (x) = | x |$ 的实数根个数，并说明理由.

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25. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ ， $y$ 都满足 $f (x y) = f (x) f (y)$ ，且 $f (- 1) = - 1$ ， $f (27) = \frac{1}{9}$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) \in (0 ， 1)$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上的单调性，并给出证明；

(3)、若 $f (a + 1) \leq - \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ ，求实数a的取值范围.

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