安徽省合肥市六校2019-2020学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 2, - 1]$ C、 $[1, 2)$ D、 $[- 1, 2)$

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2. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} (x < 1) \\ x - 1 (x \geq 1) \end{array}$ ，则 $f [f (- 4)]$ 的值为（）

A、16 B、15 C、-5 D、-15

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3. 已知角 $α$ 的终边上一点 $P$ 的坐标为 $(s i n \frac{2 π}{3} ， c o s \frac{2 π}{3})$ ，则 $s i n α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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5. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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6. 已知 $\sin (\frac{π}{3} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{5 π}{6} + α) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 在下列区间中，函数 $f (x) = e^{x} + 4 x - 3$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(- \frac{1}{4}, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$

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8. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，且 $（ \vec{a} - \vec{b} ） ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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9. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 3}$ 在 $(0, + \infty)$ 时是减函数，则实数 $m$ 的值为（）

A、2或-1 B、-1 C、2 D、-2或-1

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10. 设函数f(x)=cos(x+ $\frac{π}{3}$ )，则下列结论错误的是（）

A、f(x)的一个周期为−2π B、y=f(x)的图像关于直线x= $\frac{8 π}{3}$ 对称 C、f(x+π)的一个零点为x= $\frac{π}{6}$ D、f(x)在( $\frac{π}{2}$ ，π)单调递减

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11. 已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若 $\log a b >1$ ，则（）

A、 $(a - 1) (b - 1) < 0$ B、 $(a - 1) (a - b) > 0$ C、 $(b - 1) (b - a) < 0$ D、 $(b - 1) (b - a) > 0$

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12. 函数f(x)= $\frac{\sin x + x}{\cos x + x^{2}}$ 在[- $π$ ， $π$ ]。的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. $\log_{2} 9 \times \log_{3} 4 =$ .

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14. 已知 $\tan α = - \frac{1}{3}$ ， $\tan (α + β) = 1$ ，则 $\tan β =$ .

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15. 函数 $y = sin x - \sqrt{3} cos x$ 的图像可由函数 $y = 2 sin x$ 的图像至少向右平移个单位长度得到．

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 b - 1) x + b - 1, x > 0 \\ - x^{2} + (2 - b) x, x \leq 0 \end{array}$ 在R上为增函数，则实数b的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a \leq x \leq a + 3}$ ， $∁_{R} B = {x | - 1 \leq x \leq 5}$ .

(1)、若 $A \cap B = ϕ$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $f (α) = \frac{2 \sin (π - α) c o s (2 π - α) \tan (- α + π)}{\tan (π + α) \sin (- π - α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α$ 是第四象限角，且 $c o s (\frac{3 π}{2} - α) = \frac{3}{5}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ） .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并证明.

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20. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x + 1)$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a - 1) < - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (cos α ， sin α)$ ， $\overset{⇀}{b} = (cos β ， sin β)$ ， $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$ .
（Ⅰ）求 $cos (α - β)$ 的值；
（Ⅱ）若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $- \frac{π}{2} < β < 0$ ，且 $sin β = - \frac{4}{5}$ ，求 $sin α$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} x - 1 ， x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若函数 $y = f (x) - 2 a + 1$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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