安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x < 3}$ ， $N = {x | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $M \cap ∁_{R} N =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | 2 \leq x < 3}$

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2. $\sin 1290 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知 $\overset{⇀}{e_{1}}, \overset{⇀}{e_{2}}$ 是两个不共线向量，且 $\overset{⇀}{a} = 6 \overset{⇀}{e_{1}} - 3 \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{b} = k \overset{⇀}{e_{1}} + \overset{⇀}{e_{2}}$ .若向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 计算： $\log_{2} \sqrt{8} + \lg 25 + \lg 4 + 6^{\log_{6} \frac{1}{2}} + {9.8}^{0} =$ （）

A、1 B、4 C、5 D、7

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5. 设 $a = \log_{2} \frac{1}{e}$ ， $b = {(\frac{1}{e})}^{- \frac{1}{e}}$ ， $c = \ln 2$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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6. 下列函数既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上是减函数的是（）

A、 $f (x) = | x + 1 |$ B、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \ln \sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $f (x) = x^{- 4}$

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7. 下列区间，包含函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} - \frac{2}{3}$ 零点的是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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8. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, - 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 3, 2)$ ， $\overset{⇀}{c} = (1, 1)$ ，则向量 $\overset{⇀}{c}$ 可用向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 表示为（）

A、 $2 \overset{⇀}{a} + 6 \overset{⇀}{b}$ B、 $5 \overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b}$ C、 $4 \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b}$ D、 $\overset{⇀}{a} - 5 \overset{⇀}{b}$

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A D} = 2 \overset{⇀}{D B}$ ，若 $P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\overset{⇀}{A P} = m \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知偶函数 $f (x) = \log_{a} | x - b |$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，则 $f (b - a)$ 与 $f (a^{2} + 1)$ 的大小关系是（）

A、 $f (b - a) > f (a^{2} + 1)$ B、 $f (b - a) < f (a^{2} + 1)$ C、 $f (b - a) = f (a^{2} + 1)$ D、无法确定

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11. 已知函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，若将函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 的图象向右平移 $α (α > 0)$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 $α$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{11 π}{6}$ D、 $\frac{17 π}{12}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (x + φ + θ)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，其中 $0 < φ < π$ ， $- \frac{π}{2} < θ < 0$ ，且 $\tan θ = - 2$ ，则 $\sin 2 φ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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二、填空题

13. 已知 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin \frac{α}{2} + \cos \frac{α}{2} =$ ．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1}, x < 1, \\ \log_{4} (2^{x} - 1), x \geq 1, \end{array}$ 若 $f (x) = \frac{1}{2}$ ，则 $x =$ .

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15. 已知 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 是单位向量，且夹角为60°， $| \overset{⇀}{c} | = \sqrt{3}$ ，则 $(\overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}) \cdot (\overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c})$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{1 - x}$ 的图象与直线 $y = k x + 2$ 恰有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知角 $α = - 920 °$ .
（Ⅰ）把角 $α$ 写成 $2 k π + β$ （ $0 \leq β < 2 π, k \in Z$ ）的形式，并确定角 $α$ 所在的象限；

（Ⅱ）若角 $γ$ 与 $α$ 的终边相同，且 $γ \in (- 4 π, - 3 π)$ ，求角 $γ$ .

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18. 已知集合 $A$ 为函数 $f (x) = \log_{2} (1 - x) + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 的定义域，集合 $B$ 为函数 $g (x) = 3^{2 x - x^{2}} - 3$ 的值域.
（Ⅰ）求 $A \cap B$ ；

（Ⅱ）若 $C = {x | a - 1 < x < 1 - 2 a}$ ，且 $C \subseteq (A \cap B)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{x - 1}{1 + x}$ .
（Ⅰ）设 $h (x) = \frac{x - 1}{1 + x}$ ，用定义证明：函数 $h (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是增函数；

（Ⅱ）若函数 $g (x) = f (x) + 2^{x} + m$ ，且 $g (x)$ 在区间 $(3, 5)$ 上有零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知角 $θ$ 满足 $\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，求下列各式的值：
（Ⅰ） $\frac{\sin θ + \sin 2 θ}{1 + \cos θ + \cos 2 θ}$ ；

（Ⅱ） $\cos 2 θ + \sin 2 θ$ .

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21. 某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价100元，经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元，5周后开始保持120元的价格平稳销售，10周后由于市场竞争日益激烈，每周降价2元，直到15周结束，该产品不再销售.
（Ⅰ）求售价 $f (t)$ （单位：元）与周次 $t$ （ $t \in N^{*}$ ）之间的函数关系式；

（Ⅱ）若此电子产品的单件成本 $h (t)$ （单位：元）与周次 $h (t) = - \frac{1}{8} {(t - 7)}^{2} + 100$ 之间的关系式为 $t \in [1, 15]$ ， $f (x)$ ， $t \in N^{*}$ ，试问：此电子产品第几周的单件销售利润（销售利润 $=$ 售价 $-$ 成本）最大？

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + \sin (2 x - \frac{π}{6})$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期以及 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若 $f (x_{0}) = \frac{8}{5}$ ， $x_{0} \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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