安徽省蚌埠市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x > 1}$ ， $N = {x | y = \lg (3 x - x^{2})}$ ，则 $M \cup N$ 为（）

A、 $[3, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(0, + \infty)$

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2. 函数 $f (x) = 2^{x} - 5$ 的零点所在区间为 $[m ， m + 1] (m \in N)$ ，则 $m$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 设 $a = 2019^{\frac{1}{2020}}$ ， $b = \log_{2019} \sqrt{2020}$ ， $c = \log_{2020} \frac{1}{2019}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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4. 函数 $f (x) = \frac{2}{x^{2} + 2 x + 2}$ 的值域为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(0, 2]$ D、 $[1, 2]$

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5. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, m), \overset{⇀}{b} = (3, - 2)$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、6 D、8

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6. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\sin A \cdot \cos B \cdot \tan C < 0$ ，则 $Δ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形

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7. $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[π] = 3$ ， $[- 1.5] = - 2$ ，则函数 $f (x) = x - [x]$ 在 $R$ 上为（）

A、周期函数 B、奇函数 C、偶函数 D、增函数

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8. 已知函数f(x)=2^x-2，则函数y=|f(x)|的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设单位向量 $\overset{⇀}{e_{1}}$ 、 $\overset{⇀}{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{e_{1}} + 2 \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{b} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} - 3 \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $\overset{⇀}{b}$ 在 $\overset{⇀}{a}$ 方向上的投影为（）

A、－ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、－ $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 在其定义域 $R$ 内单调递减，若不等式 $f (2^{x} - 2 m) < f (m - 4^{x})$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{4}]$

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11. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (2 x + 1)$ 为单调函数，则下列结论正确的是（）
① $f (x)$ 的图象关于原点对称② $f (1) = 0$ ③ $f (- 2 x + 1) = - f (2 x + 1)$ ④ $f (- 2 x - 1) = - f (2 x + 1)$

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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12. 将函数 $y = \sin \frac{x}{2}$ 的图象向右平移 $φ (\frac{π}{2} \leq φ \leq π)$ 个单位长度得到 $f (x)$ 的图象，若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，且 $f (x)$ 的最大负零点在区间 $(- \frac{4 π}{3} ， - \frac{5 π}{4})$ 上，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2 π}{3} ， π]$ B、 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{3 π}{4})$ C、 $(\frac{3 π}{4} ， π]$ D、 $(\frac{π}{2} ， π]$

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二、填空题

13. $67 ° 30'$ 化为弧度，结果是.

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14. $2^{\log_{2} 4} - \log_{2} 20 - \log_{2} \frac{1}{5} =$ .

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15. $f (x) = \sin (π \cos x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的零点的个数是.

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16. 若存在实数 $m, n (m < n)$ ，使得 $x \in [m, n]$ 时，函数 $f (x) = \log_{a} (a^{2 x} + t)$ 的值域也为 $[m, n]$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则实数 $t$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $P (- 1, 2 \sqrt{2})$ 是角 $θ$ 终边上一点.

(1)、求 $\sin θ$ ， $\cos θ$ ， $\tan θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{\cos (θ - 2 π)}{\sin (θ - \frac{3 π}{2}) \cos (π + θ) - \sin (\frac{3 π}{2} + θ)}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$ 的定义域为集合A， $B = {x | x < a}$

(1)、若 $A \subseteq B$ ，求a的值；

(2)、若全集 $U = {x | x \leq 4}$ ， $a = - 1$ ，求 $∁_{U} A$ 及 $A \cap (∁_{U} B)$ ．

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19. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ .

(1)、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若对一切实数 $x$ ，不等式 $| \vec{a} + x \vec{b} | \geq | \vec{a} + \vec{b} |$ 恒成立，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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20. 已知函数 $f (x)$ = $A sin (ω x + φ) ， (x \in R)$ (其中 $A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2}$ )的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且图象上一个最高点为 $Q (\frac{π}{6} ， 2)$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式和单调增区间；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}$ ]，求 $f (x)$ 的值域.

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21. 已知 $\log_{a} 3 > \log_{a} 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若函数 $f (x) = \log_{a} x$ 在区间 $[a, 3 a]$ 上的最大值与最小值之差为1．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $1 \leq x \leq 3$ ，求函数 $y = {(\log_{a} x)}^{2} - \log_{a} \sqrt{x} + 2$ 的值域．

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22. 已知函数 $f (x) = x | 2 a - x | + 2 x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若存在实数 $a \in [- 2, 2],$ 使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (2 a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围．

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