安徽省安庆市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ， 19}$ ，集合 $A = {2 ， 7 ， 11}$ ，集合 $B = {5 ， 11 ， 13}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{5} B、{13} C、 ${5 ， 13}$ D、 ${11 ， 13}$

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2. 计算： $\log_{3} 2 - \log_{3} 6 =$ （）

A、1 B、-1 C、 $- \log_{3} 2$ D、 $- 2 \log_{3} 2$

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3. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - 2 a - 2) \cdot x^{a}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是单调递增函数，则 $a$ 的值为（）

A、3 B、-1 C、-3 D、1

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\sin A = 2 \sin B \cos C$ ，则此三角形一定为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

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5. 若实数 $m$ ， $n$ 满足 $2^{m} < 2^{n}$ ，则下列不等关系成立的是（）

A、 $\log_{2} m < \log_{2} n$ B、 $\sqrt{m} < \sqrt{n}$ C、 $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$ D、 $m^{3} < n^{3}$

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6. 下列关系式一定正确的是（）

A、 $\sin 2 < 0$ B、 $\cos 3 > 0$ C、 $\sin (π - 3) = - \sin 3$ D、 $| \sin 2 α | \leq 2 | \sin α |$

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7. 若函数 $y = \sin 2 x$ 的图像经过点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，则其图像必经过点（）

A、 $(- x_{0} ， y_{0})$ B、 $(\frac{π}{2} + x_{0} ， y_{0})$ C、 $(\frac{π}{2} - x_{0} ， y_{0})$ D、 $(π - x_{0} ， y_{0})$

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8. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) + \tan 2 α =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{17}{15}$

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9. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π$ )的图像如图所示，则 $ω$ ， $φ$ 的值为（）

A、 $ω = 3$ ， $φ = \frac{π}{4}$ B、 $ω = 3$ ， $φ = - \frac{π}{4}$ C、 $ω = 6$ ， $φ = - \frac{π}{2}$ D、 $ω = 6$ ， $φ = \frac{π}{2}$

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10. 某数学课外兴趣小组对函数 $f (x) = 2^{| x - 1 |}$ 的图像与性质进行了探究，得到下列四条结论：① 该函数的值域为 $(0 ， + \infty)$ ； ② 该函数在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增；③ 该函数的图象关于直线 $x = 1$ 对称；④ 该函数的图象与直线 $y = - a^{2} (a \in R)$ 不可能有交点.则其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 函数 $y = \frac{\sin x}{\log_{2019} | 2^{x} - 2^{- x} |}$ 在区间 $[- 3 ， 0) \cup (0 ， 3]$ 上的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数， $f (1) = 1$ .若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 且 $x_{1} < x_{2}$ 有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 3$ ，则不等式 $f [\log_{2} (3 x - 2)] < \log_{2} 16 - 3 \log_{2} (3 x - 2)$ 的解集为（）

A、 $(\frac{2}{3} ， 1)$ B、 $(- \infty ， \frac{4}{3})$ C、 $(\frac{2}{3} ， \frac{4}{3})$ D、 $(\frac{4}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \lg (x + 1) + \frac{2}{x - 2}$ 的定义域为.

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14. 计算： $\sin 39 ° \cos 21 ° + \sin 51 ° \sin 21 ° =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{4^{x} + 1} + \tan x$ ，则 $f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) =$ .

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16. 若 $A$ 为不等边 $△ A B C$ 的最小内角，则 $f (A) = \frac{2 \sin A \cos A}{1 + \sin A + \cos A}$ 的值域为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x \geq 1}$ ，集合 $B = {x | 3 - a \leq x \leq 3 + a ， a \in R}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边经过点 $P (3 ， - 4)$ .

(1)、求 $\sin α - \cos α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (π + α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}{\cos (2 π + α) + \sin (- α)}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) + \cos ω x (ω > 0)$ 图像两条相邻对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ 图像的对称中心坐标.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 4$ ，其中 $a ， b \in R$ ，且 $a \neq 0$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的图像过点 $(- 3 ， 1)$ ，且函数 $f (x)$ 只有一个零点，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，若 $a \in Z$ ，函数 $g (x) = \ln [f (x) - k x]$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积 $y$ (单位：平方米)与经过时间 $x (x \in N)$ 个月的关系有两个函数模型 $y = k \cdot a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 与 $y = p \sqrt{x} + q (p > 0)$ 可供选择.

(1)、试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；

(2)、问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍 $?$ (参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， \lg 2 \approx 0.30 ， \lg 3 \approx 0.48$ )

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot \cos x - 1$ .

(1)、当 $x \in [- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 时， $f^{2} (x) - m f (x) - m \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、是否同时存在实数 $a$ 和正整数 $n$ ，使得函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $[0 ， n π]$ 上恰有2019个零点 $?$ 若存在，请求出所有符合条件的 $a$ 和 $n$ 的值；若不存在，请说明理由.

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