上海市普陀区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-10-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{3}{5}$ ，那么下列等式中，不一定正确的是（）

A、 $5 x = 3 y$ B、 $x + y = 8$ C、 $\frac{x + y}{y} = \frac{8}{5}$ D、 $\frac{x}{y} = \frac{x + 3}{y + 5}$

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2. 下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是 $y$ 轴，那么这个函数是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x$ B、 $y = x^{2} + 2 x + 1$ C、 $y = x^{2} + 2$ D、 $y = {(x - 1)}^{2}$

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3. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $\sin A = \frac{1}{3}$ ，那么下列说法中正确的是（）

A、 $\cos B = \frac{1}{3}$ B、 $\cot A = \frac{1}{3}$ C、 $\tan A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\cot B = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. 下列说法中，正确的是（）

A、如果k＝0， $\vec{a}$ 是非零向量，那么k $\vec{a}$ ＝0 B、如果 $\vec{e}$ 是单位向量，那么 $\vec{e}$ ＝1 C、如果| $\vec{b}$ |＝| $\vec{a}$ |，那么 $\vec{b}$ ＝ $\vec{a}$ 或 $\vec{b}$ ＝﹣ $\vec{a}$ D、已知非零向量 $\vec{a}$ ，如果向量 $\vec{b}$ ＝﹣5 $\vec{a}$ ，那么 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$

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5. 如果二次函数 $y = {(x - m)}^{2} + n$ 的图像如图所示，那么一次函数 $y = m x + n$ 的图像经过（）

A、第一、二、三象限 B、第一、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第二、三、四象限

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，如果 $\frac{C △_{A D C}}{C △_{C D B}} = \frac{3}{2}$ ，AD=9，那么BC的长是（）

A、4 B、6 C、2 $\sqrt{13}$ D、3 $\sqrt{10}$

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二、填空题

7. 化简： $2 (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) =$ ．

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8. 抛物线 $y = (a - 2) x^{2}$ 在对称轴左侧的部分是上升的，那么 $a$ 的取值范围是.

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9. 已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1$ ，如果 $x = 2$ ，那么 $f (x) =$ .

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10. 如果抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 与 $x$ 轴的一个交点的坐标是 $(1 ， 0)$ ，那么与 $x$ 轴的另一个交点的坐标是.

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11. 将二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 的图像向下平移 $m (m > 0)$ 个单位后，它的顶点恰好落在 $x$ 轴上，那么 $m$ 的值等于.

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12. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $\cot B = \frac{1}{3}$ ， $B C = 2$ ，那么 $A C =$ .

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13. 如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么 $\frac{G F}{B C}$ 的值是.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ A E D$ 中， $\frac{A B}{A E} = \frac{B C}{E D}$ ，要使 $△ A B C$ 与 $△ A E D$ 相似，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需填一个条件）

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是三角形的角平分线，如果 $A B = 3 \sqrt{5}$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ，那么点 $D$ 到直线 $A B$ 的距离等于.

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16. 如图，斜坡 $A B$ 长为100米，坡角 $∠ A B C = 30 °$ ，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡 $A B$ 改造成坡度 $i = 1 ： 5$ 的斜坡 $B D$ （ $A$ 、 $D$ 、 $C$ 三点在地面的同一条垂线上），那么由点 $A$ 到点 $D$ 下降了米（结果保留根号）

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17. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O ， AO＝CO ， CD⊥BD ，如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $\sin B = \frac{5}{13}$ ，点 $P$ 为边 $B C$ 上一点， $P C = 3$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $P$ 旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ （点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别与点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 对应），使 $B^{'} C^{'} ∥ A B$ ，边 $A^{'} C^{'}$ 与边 $A B$ 交于点 $G$ ，那么 $A^{'} G$ 的长等于.

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三、解答题

19. 计算： $\frac{2 \sin^{2} 60^{°} - \cos 60^{°}}{\tan^{2} 60^{°} - 4 \cos 45^{°}}$

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 上， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ， $A D ： A B = 1 ： 3$ .

(1)、当 $D E = 5$ 时，求 $F C$ 的长；

(2)、设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{C F} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{F E} =$ ， $\vec{E A} =$ （用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示）

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21. 如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P， $\frac{A P}{P D} = \frac{B P}{C D}$ ．

(1)、求证：∠APD＝∠C；

(2)、如果AB＝3，DC＝2，求AP的长．

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22. 函数 $y = \frac{m}{x}$ 与函数 $y = \frac{x}{k}$ （ $m$ 、 $k$ 为不等于零的常数）的图像有一个公共点 $A (3, k - 2)$ ，其中正比例函数 $y$ 的值随 $x$ 的值增大而减小，求这两个函数的解析式.

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23. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $S_{△ A O D} = S_{△ B O C}$ .

(1)、求证： $\frac{D O}{O B} = \frac{C O}{O A}$ ；

(2)、设 $△ O A B$ 的面积为 $S$ ， $\frac{C D}{A B} = k$ ，求证：S_四边形_ABCD $= {(k + 1)}^{2} S$ .

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中（如图），已知抛物线 $y = a x^{2} + (a + \frac{8}{3}) x + c (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 3 ， - 2)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0 ， - 2)$ ，抛物线的顶点为点 $C$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ .

(1)、求抛物线的表达式及点 $C$ 的坐标；

(2)、点 $E$ 是 $x$ 轴正半轴上的一点，如果 $∠ A E D = ∠ B C D$ ，求点 $E$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点 $P$ 是位于 $y$ 轴左侧抛物线上的一点，如果 $△ P A E$ 是以 $A E$ 为直角边的直角三角形，求点 $P$ 的坐标.

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25. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A D = 2$ ， $B C = 5$ ， $D C = 3$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $\tan ∠ A E C = 3$ ，点 $M$ 是射线 $D C$ 上一个动点（不与点 $D$ 、 $C$ 重合），联结 $B M$ 交射线 $A E$ 于点 $N$ ，设 $D M = x$ ， $A N = y$ .

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、当动点 $M$ 在线段 $D C$ 上时，试求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)、当动点 $M$ 运动时，直线 $B M$ 与直线 $A E$ 的夹角等于 $45 °$ ，请直接写出这时线段 $D M$ 的长.

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