黑龙江省哈尔滨市香坊区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-10-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知抛物线的解析式为y=（x-2）²+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）.

A、（﹣2，1） B、（2，1） C、（2，﹣1） D、（1，2）

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3. 如图，⊙ $O$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ，则 $∠ A O C$ 等于（）

A、55° B、80° C、90° D、135°

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4. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $P (- 2 ， 1)$ ，则这个函数的图象位于（）

A、第二、三象限 B、第一、三象限 C、第三、四象限 D、第二、四象限

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5.
如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为（　　）

A、200tan20°米 B、 $\frac{200}{\sin 20 °}$ 米 C、200sin20°米 D、200cos20°米

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6. 将抛物线 $y = x^{2} - 2$ 向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）

A、 $y = {(x + 3)}^{2} + 3$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} + 1$ D、 $y = {(x + 3)}^{2} + 1$

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7. 某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为 $x$ ，则根据题意可列方程为（）

A、 $50 {(1 - x)}^{2} = 70$ B、 $50 {(1 + x)}^{2} = 70$ C、 $70 {(1 - x)}^{2} = 50$ D、 $70 {(1 + x)}^{2} = 50$

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8. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $Δ A B C$ 绕着点 $A$ 旋转至 $Δ A D E$ ，点 $B$ 的对应点点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上．若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B = 60 °$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9.
如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{A D}{B D} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{A F}{A E} = \frac{D F}{B E}$ C、 $\frac{A E}{E C} = \frac{A F}{F E}$ D、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A F}{F E}$

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10. 已知二次函数 $y^{2} = a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论：① $a b c > 0$ ，② $2 a + b < 0$ ，③ $4 a - 2 b + c < 0$ ，④ $a + b + 2 c > 0$ ，其中符合题意结论的个数为（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 函数 $y = \frac{3}{x - 2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是.

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12. 计算 $\sqrt{12} - \sqrt{27} =$ .

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13. 在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．

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14. 若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为．

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15. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ，连接 $B D$ ， $A D = B D$ ，则 $∠ B C D =$ 度．

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16. 如图，□ $A B C D$ 中， $E F // A B$ ， $D E ： A E = 2 ： 3$ ， $Δ B D C$ 的周长为25，则 $Δ D E F$ 的周长为．

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17. 若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为．

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18. 已知：等边△ABC，点P是直线BC上一点，且PC：BC=1：4，则tan∠APB= ，

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19. 如图，双曲线 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 经过 $Rt Δ O A B$ 斜边 $O B$ 的中点 $D$ ，与直角边 $A B$ 交于点 $C$ ．过点 $D$ 作 $D E ⊥ O A$ 于点 $E$ ，连接 $O C$ ，则 $Δ O B C$ 的面积是．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ B C D = 120 °$ ，连接 $A C$ ， $A B = A C$ ，点 $E$ 为 $A C$ 中点，连接 $D E$ ， $C D = 6$ ， $D E = \sqrt{37}$ ，则 $A B =$ ．

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三、解答题

21. 化简求值： $\frac{a + 1}{a} \div (a - \frac{1 + 2 a^{2}}{3 a})$ ，其中a=2cos30°+tan45°．

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22. 图中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段 $A B$ 和 $C D$ 的端点 $A 、 B 、 C 、 D$ 均在格点上．

(1)、在图中画出以 $A B$ 为一边的 $Δ A B E$ ，点 $E$ 在格点上，使 $Δ A B E$ 的面积为4，且 $Δ A B E$ 的一个角的正切值是 $\frac{1}{3}$ ；

(2)、在图中画出以 $∠ D C F$ 为顶角的等腰 $Δ D C F$ （非直角三角形），点 $F$ 在格点上．请你直接写出 $Δ D C F$ 的面积．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B ，与y轴交于点A ，直线AB与反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ （m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D ，其中点C的坐标为（1，8），点D的坐标为（4，n）．

(1)、分别求m、n的值；

(2)、连接OD ，求△ADO的面积．

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24. 已知，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 延长线上一点，连接 $D E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ D E$ ，垂足为点 $F$ ， $B F$ 与 $C D$ 交于点 $G$ ．

(1)、如图甲，求证： $C G = C E$ ；

(2)、如图乙，连接 $B D$ ，若 $B E = 4 \sqrt{2}$ ， $D G = 2 \sqrt{2}$ ，求 $\cos ∠ D B G$ 的值．

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25. 某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件．

(1)、每件商品涨价多少元时，每星期该商品的利润是4000元？

(2)、每件商品的售价为多少元时，才能使每星期该商品的利润最大？最大利润是多少元？

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26. 已知： $Δ A B C$ 内接于⊙ $O$ ，连接 $CO$ 并延长交 $A B$ 于点 $E$ ，交⊙ $O$ 于点 $D$ ，满足 $∠ B E D = 3 ∠ A C D$ ．

(1)、如图1，求证： $A B = A C$ ；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，点 $F$ 为弧 $B D$ 上一点，连接 $C F$ ， $\overset{⌢}{C F}$ = $\overset{⌢}{B D}$ ，过点 $A$ 作 $A G ⊥ C D$ ，垂足为点 $G$ ，求证： $C F + D G = C G$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，点 $H$ 为 $A C$ 上一点，分别连接 $D H 、 O H$ ， $O H ⊥ D H$ ，过点 $C$ 作 $C P ⊥ A C$ ，交⊙ $O$ 于点 $P$ ， $O H ： C P = 1 ： \sqrt{2}$ ， $C F = 12$ ，连接 $P F$ ，求 $P F$ 的长．

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27. 已知，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A ， B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 3 ， 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ．

(1)、如图1，分别求 $b 、 c$ 的值；

(2)、如图2，点 $D$ 为第一象限的抛物线上一点，连接 $D O$ 并延长交抛物线于点 $E$ ， $O D = 3 O E$ ，求点 $E$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点 $P$ 为第一象限的抛物线上一点，过点 $P$ 作 $P H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，连接 $E P$ 、 $E H$ ，点 $Q$ 为第二象限的抛物线上一点，且点 $Q$ 与点 $P$ 关于抛物线的对称轴对称，连接 $P Q$ ，设 $∠ A H E + ∠ E P H = 2 α$ ， $P H = P Q \cdot \tan α$ ，点 $M$ 为线段 $P Q$ 上一点，点 $N$ 为第三象限的抛物线上一点，分别连接 $M H 、 N H$ ，满足 $∠ M H N = 60 °$ ， $M H = N H$ ，过点 $N$ 作 $P E$ 的平行线，交 $y$ 轴于点 $F$ ，求直线 $F N$ 的解析式．

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