浙江省名校协作体2020-2021学年高二上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2020-10-28 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2, 0, 20}$ ， $B = {2020}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2, 0}$ B、 ${20}$ C、 ${2020}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知角 $α$ 的顶点与原点O重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，将 $α$ 的终边按顺时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后，过点 $P (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\cos α$ 等于（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x | x |$ B、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{- x}$ D、 $y = | x + 1 | + | x - 1 |$

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4. 已知 $a > b > 1$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $2^{a} < 2^{b}$ B、 $a^{- 2} < b^{- 2}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{b}{a}$ D、 $\ln a < \ln b$

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5. 将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象经过以下变换后可得函数 $y = - \cos 2 x$ 的图象，其中不正确的是（）

A、向左平移 $\frac{3 π}{4}$ B、向右平移 $\frac{π}{4}$ C、向左平移 $\frac{π}{4}$ ，再作关于 $x$ 轴对称 D、向左平移 $\frac{π}{4}$ ，再作关于 $y$ 轴对称

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6. 若函数 $y = a x$ 的图象上存在点 $(x ， y)$ ，满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2] \cup [\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， \frac{1}{2}]$

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7. 下列函数图象中，不可能是函数 $f (x) = x^{α} \cdot \cos x (α \in Z ， | α | \leq 2)$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 是无穷等差数列， $S_{n}$ 是其前n项和，若 $S_{n}$ 存在最大值，则（）

A、在 $S_{1}, \frac{S_{2}}{2}, \frac{S_{3}}{3}, \dots, \frac{S_{2020}}{2020}$ 中最大的数是 $S_{1}$ B、在 $S_{1}, \frac{S_{2}}{2}, \frac{S_{3}}{3}, \dots, \frac{S_{2020}}{2020}$ 中最大的数是 $\frac{S_{2020}}{2020}$ C、在 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots, S_{2020}$ 中最大的数是 $S_{1}$ D、在 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots, S_{2020}$ 中最大的数是 $S_{2020}$

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $\sin B + \sin C = \sin (A - B)$ ， $A B = A C = 2$ ， $P Q$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆的直径，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B Q}$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 6]$ D、 $[- 6 ， 2]$

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10. 已知对任意 $x \in R$ ，不等式 $a x + b + | x^{2} - a x - b | \geq 4$ 恒成立，则（）

A、 $b + 2 a \leq 4$ B、 $b - 2 a \geq 4$ C、存在 $a ， b \in R$ ，有 $a^{2} + 4 b < 16$ D、对于任意 $a ， b \in R$ ，有 $a^{2} - 4 b \geq 16$

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二、双空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (t, 1), \vec{b} = (2, t - 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t =$ ；若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t$ =.

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 1, x \leq 1 \\ f (\log_{2} x), x > 1 \end{matrix}$ ，则 $f (4) =$ ； $f (x)$ 的零点为.

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 2^{n}$ ，则 $\frac{a_{5}}{a_{4}} =$ ；设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{11}$ =.

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14. 已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a = 2, c = 5, B = 60^{\circ}$ ， $D$ 是边 $A C$ 上一点，且 $\sin ∠ A B D = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $b$ =； $\frac{A D}{D C}$ =.

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三、填空题

15. 已知 $x, y$ 为正实数，且 $x + 4 y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = m$ ，则 $m$ 的最小值为.

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16. 设 $b < 0$ ，当 ${(a + b)}^{2} + {(a - \frac{4}{b})}^{2}$ 取得最小值 $c$ 时，函数 $f (x) = | x - b | + | x - c |$ 的最小值为.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2020$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ，若正整数 $k$ 使得 $a_{1} a_{2} ... a_{k} = \frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{k}^{2} + 2}{2021}$ 成立，则 $k =$ .

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x + \cos^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，求 $f (x)$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为正的等差数列， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{3} + 1$ 的等比中项， $a_{4} = 4$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和，求使得 $S_{n} < 2020$ 成立的最大整数n.

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20. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，满足 $a^{2} = b^{2} + b c$ .

(1)、求证： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，且 $\sin C + \tan B \cos C = 1$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆半径.

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21. 已知函数 $f (x) = | a x + 1 |$ .

(1)、若 $a = 2$ ，写出 $f (x)$ 的单调区间(不要求证明)；

(2)、若对任意的 $x \in [- 1 ， 1] ， a \in [1 ， 2]$ ，不等式 $f (x) \leq x^{2} - b$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}$ ，数列 ${\frac{a_{n}}{T_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $R_{n}$ .求证： $\frac{3}{4} (1 - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}) \leq R_{n} < 1$ ；

(3)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1 ， b_{n} b_{n + 1} = \log_{2} a_{n}$ ，试比较 $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n}}$ 与 $2 \sqrt{n} - 1$ 的大小，并说明理由.

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