安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-10-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 一个几何体恰有6个顶点，则这个几何体可能是（）

A、四棱柱 B、四棱台 C、五棱锥 D、五棱台

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2. 设向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (m, 2 - m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、-2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、-1

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{5} = 24$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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4. 将一个球放在圆柱的上面，圆柱的底面圆的直径等于球的直径，则该几何体的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $a = 6$ ， $b = 5$ ， $c = 9$ ，则 $\sin C =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 若 $\cos (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{5}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A D_{1}$ 与 $C_{1} D$ 所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 要得到函数 $y = \cos (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = \cos (4 x + \frac{π}{6})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度

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9. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则 $\vec{A F}$ =（）

A、 $\frac{1}{8} \vec{A B} + \frac{5}{8} \vec{A C}$ B、 $\frac{5}{8} \vec{A B} - \frac{1}{8} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{8} \vec{A B} - \frac{5}{8} \vec{A C}$ D、 $\frac{5}{8} \vec{A B} + \frac{1}{8} \vec{A C}$

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10. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若存在 $m \in N^{*}$ ，满足 $\frac{S_{2 m}}{S_{m}} = 28$ ， $\frac{a_{2 m}}{a_{m}} = \frac{2 m + 21}{m - 2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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11. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，且 $\cos^{2} C - \cos^{2} A - \sin^{2} B = - \sqrt{2} \sin B \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2 a} x) (a > 0)$ ，点A，B分别为 $f (x)$ 图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若 $△ O A B$ 为钝角三角形，则a的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (2, + \infty)$ B、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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二、填空题

13. 用长为3、宽为2的矩形做侧面，围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{n}} + 5 (n \in N_{+})$ ，则 $a_{6} =$ .

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15. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在棱 $A B$ ， $P B$ ， $B C$ 上，且平面 $D E F //$ 平面 $P A C$ ，若 $\frac{B D}{A D} = \frac{4}{5}$ ，则 $△ D E F$ 与 $△ A P C$ 的面积之比为.

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16. 首项为正数，公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .现有下列4个命题：①若 $S_{10} = 0$ ，则 $S_{2} + S_{8} = 0$ ；②若 $S_{4} = S_{1}_{2}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最大的 $n$ 为15；③若 $S_{1}_{5} > 0$ ， $S_{16} < 0$ ，则 ${S_{n}}$ 中 $S_{8}$ 最大；④若 $S_{7} < S_{8}$ ，则 $S_{8} < S_{9}$ .其中正确的命题的序号是.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $2 a_{1} + a_{3} = 12$ ， $a_{1} + 2 a_{2} = 1 + a_{4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $\frac{1}{S_{1} + 1} + \frac{1}{S_{2} + 2} + \dots + \frac{1}{S_{n} + n} < \frac{2}{3}$ .

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18. 已知 $α, β$ 都是锐角，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\tan (α - β) = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $\sin (α - β)$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a \sin 2 B + b \sin A = 0$ ．
（Ⅰ）求 $B$ ；

（Ⅱ）若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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20. 如图所示，在四棱锥 $C - A B E D$ 中，四边形 $A B E D$ 是正方形，点 $G ， F$ 分别是线段 $E C ， B D$ 的中点.

(1)、求证： $G F / / 平面 A B C$ ；

(2)、线段 $B C$ 上是否存在一点 $H$ ，使得面 $G F H ∥$ 面 $A C D$ ，若存在，请找出点 $H$ 并证明；若不存在，请说明理由.

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21. 若函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，且当 $x = \frac{2 π}{3}$ 时， $f (x)$ 取得最小值.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}]$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{1}}{2^{1} + 1} - \frac{b_{2}}{2^{2} + 1} + \frac{b_{3}}{2^{3} + 1} - \dots + {(- 1)}^{n + 1} \frac{b_{n}}{2^{n} + 1} = \frac{1}{2^{n}} - 1$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、在（2）的条件下，设 $c_{n} = 2^{n} + λ b_{n}$ ，问是否存在实数 $λ$ 使得数列 ${c_{n}}$ 是单调递增数列？若存在，求出 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明你的理由.

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