初中数学苏科版九年级上学期期中复习专题2 一元二次方程的解法

试卷更新日期：2020-10-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 一元二次方程 $x (x - 2) = 2 - x$ 的根是（）

A、﹣1 B、2 C、1和2 D、﹣1和2

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2. 关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 2 mx + m + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）．

A、方程无实数根 B、方程有两个相等的实数根 C、方程有两个不相等的实数根 D、方程的根无法确定

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3. 方程 $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、只有一个实数根 C、没有实数根 D、有两个不相等的实数根

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4. 一元二次方程 $y^{2} + y - \frac{3}{4} = 0$ 配方后可化为（）

A、 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} = 1$ B、 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ C、 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ D、 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$

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5. 如果关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有两个实数根，那么 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k ⩾ \frac{9}{4}$ B、 $k ⩾ - \frac{9}{4}$ 且 $k \neq 0$ C、 $k ⩽ \frac{9}{4}$ 且 $k \neq 0$ D、 $k ⩽ - \frac{9}{4}$

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6. 一元二次方程x²﹣5x+6＝0的解为（）

A、x₁＝2，x₂＝﹣3 B、x₁＝﹣2，x₂＝3 C、x₁＝﹣2，x₂＝﹣3 D、x₁＝2，x₂＝3

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7. 关于的一元二次方程 $a x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 有两个相等的实数根，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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8. 定义运算： $m ☆ n = m n^{2} - m n - 1$ .例如 $: 4 ☆ 2 = 4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 1 = 7$ .则方程 $1 ☆ x = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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9. 已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + k + 2 = 0$ 的两个根，则k的值等于 $($ $)$

A、7 B、7或6 C、6或 $- 7$ D、6

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10. 已知二次函数y＝ax²+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：

x

2

4

5

y

0.38

0.38

6

则（a+b+c）（ $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ + $\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ）值为（）

A、24 B、36 C、6 D、4

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二、填空题

11. 如果方程 ${(x - 2)}^{2} = 3 - a$ 有两个相等的实数根，那么a的值为．

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12. 关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (3 m - 1) x + 2 m - 1 = 0$ ，其根的判别式的值为1，则该方程的根为．

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13. 方程 ${(x + 1)}^{2} = 9$ 的根是.

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - k = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - a = 0$ ，有下列结论：
①当 $a > - 1$ 时，方程有两个不相等的实根；

②当 $a > 0$ 时，方程不可能有两个异号的实根；

③当 $a > - 1$ 时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当 $a > 3$ 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

以上4个结论中，正确的个数为．

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16. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 $\frac{2 n}{m}$ 的值为.

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17. 关于x的一元二次方程x²+ $\sqrt{m}$ x+1=0有两个相等的实数根，则m=。

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18. 在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝4，b、c恰好是方程x²﹣（2k+1）x+5（k﹣ $\frac{3}{4}$ ）＝0的两个实数根，则△ABC的周长为．

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三、解答题

19. 选择恰当的方法解下列一元二次方程．

(1)、 $x^{2} = 8$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ；

(3)、 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ；

(4)、 $(x + 1) - 2 (x^{2} - 1) = 0$ ．

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20. k取什么值时，关于x的方程 $4 x^{2} - (k + 2) x + k - 1 = 0$ 有两个相等的实数根？求出这时方程的根.

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21. 下面是小明解一元二次方程（x-5)²=3(x-5)的过程：
解：方程两边都除以（x-5)，得x-5=3，

解得x=8．

小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程．

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22. 阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：
（ 1 ）例：解方程x²﹣|x|﹣2＝0.

解：当x≥0时，原方程可化为x²﹣x﹣2＝0.

解得：x₁＝2，x₂＝﹣1（不合题意.舍去）

当x＜0时，原方程可化为x²+x﹣2＝0.

解得：x₁＝﹣2，x₂＝1（不合题意.舍去）

∴原方程的解是x₁＝2，x₁＝﹣2.

（ 2 ）请参照上例例题的解法，解方程x²﹣x|x﹣1|﹣1＝0.

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23. 已知关于x的一元二次方程x²+2x-k=0有两个不相等的实数根，

(1)、求 k的取值范围，

(2)、当k=1时,求方程的解。

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24. 已知关于x的方程x²+9x+25+m=0，

(1)、若此方程有实数根，求m的取值范围；

(2)、在（1）条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解.

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25. 关于x的一元二次方程x²+2x+k﹣3＝0有实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若k是该方程的一个根，求2k²+6k﹣5的值．

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26. 如图，在△ABC中、∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E、连结CD。

(1)、若∠A=26°，求∠ACD的度数。

(2)、设BC= $\frac{a}{2}$ ，AC=b，线段AE的长是方程x²+ax-b²=0的一个根吗？说明理由。

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27. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c) x^{2} + 2 bx + c + (a - c) = 0$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ ABC$ 三边的长．

(1)、如果 $x = - 1$ 是方程的根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果 $△ ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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x	2	4	5
y	0.38	0.38	6