吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {2, 3, 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${3, 4}$ C、{2} D、 ${0, 1, 3, 4}$

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2. 函数 $f (x) = \lg (2 x + 1)$ 的定义域是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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3. 过点 $A (- 2, 3)$ 和点 $B (0, - 1)$ 的直线的斜率为（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，给出下列条件，能得到 $m ⊥ β$ 的是（）

A、 $α ⊥ β, m \subset α$ B、 $m ⊥ α, α ⊥ β$ C、 $m ⊥ n, n \subset β$ D、 $m / / n, n ⊥ β$

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5. 若直线 $2 x + y + 3 = 0$ 与直线 $k x - y + 4 = 0$ 平行，则实数k的值为（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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6. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为 $\frac{1}{2}$ ．则该几何体的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若x²+y²–x+y–m=0表示一个圆的方程，则m的取值范围是（）

A、 $m > - \frac{1}{2}$ B、 $m \geq - \frac{1}{2}$ C、 $m < - \frac{1}{2}$ D、m>–2

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8. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $B D_{1}$ 所成角为（）

A、15° B、30° C、45° D、60°

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9. 某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知 $\lg 2 = 0.3010$ ， $\lg 3 = 0.4771$ ）.（）

A、2023年 B、2024年 C、2025年 D、2026年

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10. 如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、① D、②③

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11. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 9 = 0$ ，若圆C上恰有3个点到直线l的距离为1，则l的方程可能是（）

A、 $3 x + 4 y + 1 = 0$ B、 $4 x + 3 y + 1 = 0$ C、 $4 x - 3 y - 5 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 5 = 0$

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12. 已知 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如： $[1] = 1$ ， $[3.5] = 3$ ， $[- 1.5] = - 2$ ， $g (x) = [x]$ 为取整函数， $x_{0}$ 是函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x}$ 的零点，则 $g (x_{0})$ 等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱中，其所在的直线与直线 $B A_{1}$ 成异面直线的共有条.

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14. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x}, & x \leq 0 \\ \log_{2} x, & x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{8})) =$ .

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15. 设直线 $y = x + 2 a$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 a y - 2 = 0$ 相交于A，B两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$

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16. 给出下列结论：
①若集合 $A = {x | x > 0}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B = A$ ；

②函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的图象关于原点对称；

③函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在其定义域上是单调递减函数；

④若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有意义，且 $f (a) f (b) < 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上有唯一的零点.

其中正确的是.（只填序号）

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17. 若三棱锥 $P - A B C$ 的所有顶点都在球O的球面上， $P A ⊥$ 平面ABC， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 90^{°}$ ，且三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则球O的体积为.

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三、解答题

18. 若圆C经过点 $A (2, - 3)$ 和 $B (- 2, - 5)$ ，且圆心C在直线 $x - 2 y - 3 = 0$ 上，求圆C的方程.

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19. 已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $3 x + 4 y - 12 = 0.$
（Ⅰ）若直线 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 平行，且过点 $(- 1 ， 3)$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

（Ⅱ）若直线 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 垂直，且 $l_{2}$ 与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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20. 某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量 $f (x)$ （万件）之间的关系如下表所示：

x

1

2

3

4

$f (x)$

4.00

5.52

7.00

8.49

现有三种函数模型： $f (x) = a x + b$ ， $f (x) = a \times 2^{x} + b$ ， $f (x) = \log_{0.5} x + a$

(1)、找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取 $x = 1, 3$ 这两年的数据求出相应的函数解析式；

(2)、因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.

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21. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ，将矩形沿对角线 $B D$ 把 $Δ A B D$ 折起，使 $A$ 移到 $A_{1}$ 点，且 $A_{1}$ 在平面 $B C D$ 上的射影 $O$ 恰在 $C D$ 上，即 $A_{1} O ⊥$ 平面 $D B C$ .

(1)、求证： $B C ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(3)、求点 $C$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x + b + 2 (a > 0)$ 在区间 $[- 2 ， 0]$ 上有最小值1，最大值9.

(1)、求实数a，b的值；

(2)、设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，若不等式 $g (\log_{2} x) - k \log_{2} x \geq 0$ 在区间 $[\sqrt{2} ， 4]$ 上恒成立，求实数k的取值范围；

(3)、设 $F (x) = f (| 2^{x} - 1 |) + λ (| 2^{x} - 1 | - 2)$ ），若函数 $F (x)$ 有三个零点，求实数 $λ$ 的取值范围.

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x	1	2	3	4
$f (x)$	4.00	5.52	7.00	8.49