吉林省白山市2019-2020学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-10-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x - 1 < 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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2. $\frac{5}{12} π =$ （）

A、70° B、75° C、80° D、85°

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{5 - x} + \lg (x + 2)$ 的定义域是（）

A、 $(- 2 ， 5]$ B、 $(- 2 ， 5)$ C、 $(2 ， 5]$ D、 $(2 ， 5)$

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4. 设终边在 $y$ 轴的负半轴上的角的集合为 $M$ 则（）

A、 $M = {α | α = \frac{3 π}{2} + k π, k \in Z}$ B、 $M = {α | α = \frac{3 π}{2} - \frac{k π}{2}, k \in Z}$ C、 $M = {α | α = - \frac{π}{2} + k π, k \in Z}$ D、 $M = {α | α = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z}$

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5. 若函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m - 1}$ 是幂函数，且 $y = f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $f (2) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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6. $\cos 350^{\circ} \sin 70^{\circ} - \sin 170^{\circ} \sin 20^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 若 $α$ 为第二象限角，下列结论错误的是（）

A、 $\sin α > \cos α$ B、 $\sin α > \tan α$ C、 $\cos α + \tan α < 0$ D、 $\sin α + \cos α > 0$

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8. 若实数 $a = \log_{0.2} 0.3$ ， $b = \log_{0.3} 0.2$ ， $c = \log_{0.3} 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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9. 已知函数 $f (x) = (a + 1) x^{3} - (a + 2) x - b \cos x$ 是定义在 $[a - 3, a + 1]$ 上的奇函数，则 $f (a + b) =$ （）

A、-2 B、-1 C、2 D、5

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10. 函数 $f (x) = \frac{\cos x}{\ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、、 C、 D、

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11. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $A B$ ， $A D$ 上，满足 $\overset{⇀}{B E} = 4 \overset{⇀}{E A}$ ， $\overset{⇀}{A F} = 3 \overset{⇀}{F D}$ ，连接 $E F$ 交 $A C$ 于点M，若 $\overset{⇀}{A M} = 2 λ \overset{⇀}{A B} - 3 μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $5 λ - \frac{19}{2} μ =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、-3

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12. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 分别是方程 $\log_{3} x + x = 3$ ， $\log_{3} (x + 2) = \sqrt{- x}$ ， $e^{x} = \ln x + 4$ 的实根，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} + x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ D、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$

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二、填空题

13. 已知 $\tan α = - 4$ ，则 $\tan 2 α =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (m, - 3)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ .若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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15. 已知 $\sin α = \frac{5}{13}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $\cos α - 6 \tan α =$ .

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16. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (4 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = \cos x$ ，则 $g (x) = f (x) - \lg | x |$ 的零点个数为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x \leq a - 2$ 或 $x > a + 3}$ , $B = {x | y = \log_{3} x + \log_{3} (5 - x)}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时,求 $A \cup B$ ;

(2)、若 $A \cap B = B$ ,求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3)$ ， $\vec{c} = (λ, 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} = m \vec{b} + 3 \vec{c}$ ，求实数 $m$ ， $λ$ 的值；

(2)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{b} + \vec{c}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = x^{2} + a x + 3 - 2 a$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 是 $R$ 上的单调函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(0 < ω < 6, | φ | < \frac{π}{2})$ ， $f (x)$ 的图象的一条对称轴是 $x = \frac{π}{3}$ ，一个对称中心是 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $△ A B C$ 是锐角三角形，向量 $\vec{m}$ $= (f (\frac{B}{2} + \frac{π}{12}), f (\frac{π}{4}))$ ， $\vec{n}$ $= (f (\frac{B}{2} + \frac{π}{3}), f (B + \frac{π}{3}))$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ， $\sin C = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos A$ .

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21. 如图，某小区为美化环境，建设美丽家园，计划在一块半径为R（R为常数）的扇形区域上，建个矩形的花坛CDEF和一个三角形的水池FCG.其中 $G C = G F$ ，O为圆心， $∠ A O B = 120 °$ ，C，G，F在扇形圆弧上，D，E分别在半径OA，OB上，记OG与CF，DE分别交于M，N， $∠ G O C = θ$ .

(1)、求△FCG的面积S关于 $θ$ 的关系式，并写出定义域；

(2)、若R=10米，花坛每平方米的造价是300元，试问矩形花坛的最高造价是多少？（取 $\sqrt{3} = 1.732$ ）

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{3}$ ，其中e为自然对数的底数.

(1)、证明: $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、函数 $g (x) = \frac{5}{3} - x^{2}$ ，如果总存在 $x_{1} \in [- a, a] (a > 0)$ ，对任意 $x_{2} \in R, f (x_{1}) ⩾ g (x_{2})$ 都成立，求实数a的取值范围.

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