浙江省余姚市2019-2020学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-10-26 类型：期末考试

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一、选择题

1. 下面四个图是“余姚阳明故里 $LOGO$ 征集大赛”的四件作品，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在平面直角坐标系中，点(-1， 2)所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知一个等腰三角形的底角为 $50 °$ ，则这个三角形的顶角为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $80 °$ D、 $100 °$

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4. 下列选项错误的是（）

A、若 $a > b$ ， $b > c$ ，则 $a > c$ B、若 $a > b$ ，则 $a - 3 > b - 3$ C、若 $a > b$ ，则 $- 2 a > - 2 b$ D、若 $a > b$ ，则 $- 2 a + 3 < - 2 b + 3$

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5. 下列平面直角坐标系中的图象，不能表示 $y$ 是 $x$ 的函数是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线.其中作法正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 能说明命题“对于任意正整数 $n$ ，则 $2^{n} \geq n^{2}$ ”是假命题的一个反例可以是（）

A、 $n = - 1$ B、 $n = 1$ C、 $n = 2$ D、 $n = 3$

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8. 若 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $Δ A B C$ 的三边长，则下列条件中不能判定 $Δ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a = 1.5$ ， $b = 2$ ， $c = 2.5$ B、 $a : b : c = 3 : 4 : 5$ C、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ D、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$

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9. 如图，有一张直角三角形纸片， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5 cm$ ， $A C = 3 cm$ ，现将 $Δ A B C$ 折叠，使边 $A C$ 与 $A B$ 重合，折痕为 $A E$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $1cm$ B、 $2 cm$ C、 $\frac{3}{2} cm$ D、 $\frac{5}{2} cm$

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10. 如图， $Δ A B C$ 是等边三角形， $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $∠ A D C$ 的度数为 $(5 x - 20) °$ ，则 $x$ 的值可能是（）

A、10 B、20 C、30 D、40

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11. 某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离 $S$ （千米）与所用时间 $t$ （分）之间的函数关系如图所示.已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（）

A、汽车在途中加油用了10分钟 B、若 $O A ∥ B C$ ，则加满油以后的速度为80千米/小时 C、若汽车加油后的速度是90千米/小时，则 $a = 25$ D、该同学 $8 ： 55$ 到达宁波大学

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12. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 顺次在直线 $l$ 上，以 $A C$ 为底边向下作等腰直角三角形 $A C E$ ， $A C = a$ .以 $B D$ 为底边向上作等腰三角形 $B D F$ ， $B D = b$ ， $F B = F D = \frac{5}{6} b$ ，记 $Δ C D E$ 与 $Δ A B F$ 的面积的差为 $S$ ，当 $B C$ 的长度变化时， $S$ 始终保持不变，则 $a$ ， $b$ 满足（）

A、 $a = \frac{4}{3} b$ B、 $a = \frac{6}{5} b$ C、 $a = \frac{5}{3} b$ D、 $a = \sqrt{2 b}$

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二、填空题

13. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是．

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14. 余姚市2020年1月1日的气温是 $t ° C$ ，这天的最高气温是 $12 ° C$ ，最低气温是 $5 ° C$ ，则当天我市气温 $t (° C)$ 的变化范围可用不等式表示为.

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15. 若一次函数 $y = a x + b$ （ $a \neq 0$ ）的图象经过 $(3, 2)$ 和 $(- 3, - 1)$ 两点，则方程 $a x + b = - 1$ 的解为.

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16. 在正方形网格中， $∠ A O B$ 的位置如图所示，点 $P$ ， $Q$ ， $M$ ， $N$ 是四个格点，则这四个格点中到 $∠ A O B$ 两边距离相等的点是点.

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17. 如图，已知直线 $y = - x + 10$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $D$ 在直线 $y = \frac{3}{4} x$ 上，连结 $B D$ ， $C D$ .当 $∠ O D B = 90 °$ 时， $C D$ 的长为.

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = B C = 13$ ， $A B = 24$ ， $D$ 是 $A B$ 边上的一个动点，点 $E$ 与点 $A$ 关于直线 $C D$ 对称，当 $Δ A D E$ 为直角三角形时，则 $A D$ 的长为.

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{matrix} 3 (x + 2) \geq 2 x + 5 \\ 2 x - \frac{1 + 3 x}{2} < 1 \end{matrix}$ ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.

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20. 作图题：如图，已知 $∠ α ， ∠ β$ ，线段 $a$ ，求作 $Δ A B C$ ，使 $∠ A = ∠ α ， ∠ B = ∠ β ， A B = a$ . （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

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21. 如图，已知 $A B ∥ D E$ ， $∠ B = ∠ E$ ， $B C = E F$ ，求证： $A F = C D$ .

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22. 如图，在直角坐标系中，长方形 $A B C D$ 的三个顶点的坐标为 $A (1 ， 1)$ ， $B (6 ， 1)$ ， $D (1 ， 4)$ ，且 $A B ∥ x$ 轴，点 $P (a ， b - 2)$ 是长方形内一点（不含边界）.

(1)、求a，b的取值范围.

(2)、若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q，若点Q恰好与点C关于 $y$ 轴对称，求a，b的值.

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23. 如图， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的高线，且 $B D = \frac{1}{2} A C$ ，E是 $A C$ 的中点，连结 $B E$ ，取 $B E$ 的中点F，连结 $D F$ ，求证： $D F ⊥ B E$ .

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24. 宁波至绍兴城际列车已于2019年7月10日运营，这是国内首条利用既有铁路改造开行的跨市域城际铁路.其中余姚至绍兴的成人票价12元/人，学生票价6元/人.余姚某校801班师生共计50人坐城际列车去绍兴秋游.

(1)、设有 $x$ 名老师，求801班师生从余姚到绍兴的城际列车总费用 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.

(2)、若从余姚到绍兴的城际列车总费用 $y$ 不超过330元，问至少有几名学生？

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25. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是边 $B C$ 上一动点，连结 $A E$ ，取 $A E$ 的中点 $F$ ，连结 $B F$ .小梦根据学习函数的经验，对 $Δ A D E$ 的面积与 $B E$ 的长度之间的关系进行了探究：

(1)、设 $B E$ 的长度为 $x$ ， $Δ A D E$ 的面积 $y_{1}$ ，通过取 $B C$ 边上的不同位置的点 $E$ ，经分析和计算，得到了 $y_{1}$ 与 $x$ 的几组值，如下表：

$x$

0

1

2

3

4

5

6

$y_{1}$

3

$a$

1

0

$b$

2

3

根据上表可知， $a =$ ， $b =$ .

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出（1）中所确定的函数的图象.

(3)、在（1）的条件下，令 $Δ B E F$ 的面积为 $y_{2}$ .
①用 $x$ 的代数式表示 $y_{2}$ .

②结合函数图象.解决问题：当 $y_{1} < y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围为.

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26. 定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”.如图1在 $Δ A B C$ 中，若 $A B^{2} + A C^{2} - A B \cdot A C = B C^{2}$ ，则 $Δ A B C$ 是“和谐三角形”.

(1)、等边三角形一定是“和谐三角形”，是命题（填“真”或“假”）.

(2)、若 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = c$ ， $A C = b$ ， $B C = a$ ，且 $b > a$ ，若 $Δ A B C$ 是“和谐三角形”，求 $a ： b ： c$ .

(3)、如图2，在等边三角形 $A B C$ 的边 $A C$ ， $B C$ 上各取一点 $D$ ， $E$ ，且 $A D < C D$ ， $A E$ ， $B D$ 相交于点 $F$ ， $B G$ 是 $Δ B E F$ 的高，若 $Δ B G F$ 是“和谐三角形”，且 $B G > F G$ .

①求证： $A D = C E$ .

②连结 $C G$ ，若 $∠ G C B = ∠ A B D$ ，那么线段 $A G$ ， $F E$ ， $C D$ 能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由.

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$x$	0	1	2	3	4	5	6
$y_{1}$	3	$a$	1	0	$b$	2	3